发表机构
Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences; Institute of Mathematics, University of Warsaw（波兰科学院数学研究所; 华沙大学数学研究所）
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本文用集合论方法证明，在特定基数条件下，无限维Banach空间 $\ell_1(\kappa)$ 存在由星形体构成的规范不相交平铺及高度不连通的近迫集，并给出不存在性结果，补充了Klee等先前结论。
AI 中文摘要
我们采用集合论方法，在平铺理论和逼近理论中出现的几何条件下，证明了在无限维Banach空间 $\ell_1(\kappa)$（其中 $\kappa$ 为无限基数）的覆盖背景下，存在少于 $2^\omega$ 个闭集构成的单位区间（或等价地，对 $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ 的 $\mathbb{R}^n$）的非平凡两两不相交覆盖的一致性的成立。具体而言，对于 $\kappa=\omega_1, \omega_2$，利用并排Sacks强迫，我们证明了在 $\kappa$ 之上存在任意大的连续统基数的一致性，同时存在 $\ell_1(\kappa)$ 中一个高度不连通的近迫集，该集合由范数紧的片段构成，这些片段之间被一个公共正距离隔开，并且存在由形如 $X+B$ 的星形体构成的 $\ell_1(\kappa)$ 的规范不相交平铺，其中 $X$ 是范数紧的，$B$ 是单位球。我们还证明了如果 $\kappa$ 是一个共尾数为可数的不可数基数，则 $\ell_1(\kappa)$ 不存在任何由形如 $X+B$ 的体构成的规范不相交平铺，其中 $X$ 是闭的且范数可分的，$B$ 是单位球。这些结果补充了Klee于1981年针对满足 $\kappa^\omega=\kappa$ 的 $\kappa$ 所获得的结果、De Bernardi、Russo、Sezgek和Somaglia最近的结果，以及一个 $\mathsf{ZFC}$ 中机器发现的结果（包含在附录中）：当 $\kappa<2^\omega$ 时，$\ell_1(\kappa)$ 中不存在非平凡的离散Chebyshev集。
英文摘要
We employ the set-theoretic methods yielding the consistency of the existence of nontrivial pairwise disjoint covers of the unit interval (or equivalently $\mathbb{R}^n$ for $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$) by less than $2^ω$ closed sets in the context of covers of infinite dimensional Banach spaces $\ell_1(κ)$ for infinite $κ$ under geometric conditions arising in tiling theory and in approximation theory. Specifically, for $κ=ω_1, ω_2$, using side-by-side Sacks forcing we prove the consistency of an arbitrarily large continuum above $κ$ with the existence of a highly disconnected proximinal set in $\ell_1(κ)$, built from norm-compact pieces separated by a common positive distance, and the existence of a normal disjoint tiling of $\ell_1(κ)$ by star-shaped bodies of the form $X+B$, where $X$ is norm compact and $B$ is the unit ball. We also prove that if $κ$ is an uncountable cardinal of countable cofinality, then $\ell_1(κ)$ does not admit any normal disjoint tiling by bodies of the form $X+B$, where $X$ is closed and norm-separable and $B$ is the unit ball. These results complement a result of Klee of 1981 obtained for $κ$ satisfying $κ^ω=κ$, recent results of De Bernardi, Russo, Sezgek and Somaglia, and a $\mathsf{ZFC}$ a machine-discovered result (included in the appendix) that there are no nontrivial discrete Chebyshev sets in $\ell_1(κ)$ when $κ<2^ω$.
