AI 中文总结
本文在温和假设下刻画了预纤维化，并证明了带基点范畴中一般分裂扩张的存在性与正规化子、核函子预纤维性等条件等价，且对原模范畴给出可表示性刻画。
AI 中文摘要
我们证明，在温和假设下，一个函子是预纤维化当且仅当它在纤维中具有终对象，并允许单态射的预笛卡尔提升。我们利用这一点来证明，对于带基点的范畴 $\mathbb{C}$，以下条件是等价的：(a) $\mathbb{C}$ 的态射范畴允许一般分裂扩张；(b) $\mathbb{C}$ 的每个以有限定义域范畴为指标的函子范畴允许一般分裂扩张；(c) $\mathbb{C}$ 允许正规化子和一般分裂扩张；(d) 从 $\mathbb{C}$ 中的分裂扩张范畴到 $\mathbb{C}$ 的核函子是预纤维化。此外，我们证明，对于带基点的原模（protomodular）范畴 $\mathbb{C}$，其态射范畴允许一般分裂扩张当且仅当对于每个态射 $f:X\to Z$，将每个对象 $B$ 映到 $\mathbb{C}^{\mathbf{2}}$ 中以 $(X,Z,f)$ 为核的 $(B,B,1_B)$ 的分裂扩张的同构类的函子是可表示的。
英文摘要
We show that under mild assumptions a functor is a prefibration if and only if it has terminal objects in its fibers and admits precartesian liftings of monomorphisms. We use this to show that the following conditions on a pointed category $\mathbb{C}$ are equivalent: (a) The category of morphisms of $\mathbb{C}$ admits generic split extensions; (b) Each functor category of $\mathbb{C}$ with finite domain category admits generic split extensions; (c) $\mathbb{C}$ admits normalizers and generic split extensions; (d) The kernel functor from the category split extensions in $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$ is a prefibration. In addition we show that the category of morphisms of a pointed protomodular $\mathbb{C}$ admits generic split extensions if and only if for each morphism $f:X\to Z$ the functor sending each object $B$ to the isomorphism class of split extensions in $\mathbb{C}^{\mathbf{2}}$ of $(B,B,1_B)$ with kernel $(X,Z,f)$, is representable.
