非零冗余二进制数制在局部复函数理论中的若干应用

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本文研究了一个基为非整数 $a>1$、字母表为二进制集合 $A=\{0,1\}$ 的数制系统：$$\left[0;\frac{r}{a-1}\right]\ni x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{a^n} \equiv \Delta^{r_a}_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots}, \quad \alpha_n\in A.$$ 我们研究了 $r_a$ 表示的几何性质，包括数字的几何解释、柱重叠的结构以及相关的度量性质。我们研究的主要对象是一个无界变差的无处单调函数，其定义为 $$f\left(x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2^n}\right) =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{a^n},$$ 其中自变量的经典二进制表示假定不以无限周期 $(1)$ 结尾。我们推导了 $f$ 满足的两个函数方程组。我们证明了该函数具有分形水平集和自仿射图。我们还计算了 $f$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分。

英文摘要

In this paper, we study a numeration system with a non--integer base $a>1$ over the binary alphabet $A=\{0,1\}$: $$\left[0;\frac{r}{a-1}\right]\ni x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{α_n}{a^n} \equiv Δ^{r_a}_{α_1α_2\ldotsα_n\ldots}, \quad α_n\in A.$$ We investigate the geometry of $r_a$--representation of numbers, including the geometric interpretation of digits, the structure of cylinder overlaps, and the associated metric properties. The main object of our study is a nowhere monotone function of unbounded variation defined by $$f\left(x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{α_n}{2^n}\right) =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{α_n}{a^n},$$ where the classical binary representation of the argument is assumed not to end with the infinite period $(1)$. We derive a system of two functional equations satisfied by $f$. We prove that the function has fractal level sets and a self--affine graph. We also evaluate the integral of $f$ over the interval $[0,1]$.

发表机构

• Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）
• K. D. Ushynskyi Chernihiv Regional Institute of Postgraduate Pedagogical Education（科·德·乌申斯基切尔尼戈夫地区师范研究生教育学院）
• Ukrainian State Dragomanov University（乌克兰国立德拉戈马诺夫大学）

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