向量值子Bergman空间：值域包含与非刚性

中文摘要 AI 辅助

设 $\mathcal E$ 为可分Hilbert空间，$B\in H^\infty_1(L(\mathcal E))$，且 $\alpha>-1$。与向量值加权Bergman空间 $A^2_{\alpha,\mathcal E}$ 上的Toeplitz算子 $T_B$ 相关联的是子Bergman空间 $\mathcal A_\alpha(B)$ 和 $\mathcal A_\alpha(B^*)$。本文证明了 \\[ \mathcal A_\alpha(B)\supset A^2_{\alpha-1,\mathcal H(B(0))} \quad\text{且}\quad \mathcal A_\alpha(B^*)\supset A^2_{\alpha-1,\mathcal H(B(0)^*)}. \\] 这证实了文献[GLM26]中的一个猜想。我们还构造了一个无限维双侧内函数 $B$，使得 $\\|B(0)\\|<1$ 且 \\[ \mathcal A_\alpha(B)\approx \mathcal A_\alpha(B^*)\approx A^2_{\alpha-1,\mathcal E}, \\] 但 $B$ 不是有限的Blaschke-Potapov乘积。该例子表明文献[GLM26]的有限维刚性定理不能推广到无限维系数空间。

英文摘要

Let $\mathcal E$ be a separable Hilbert space, $B\in H^\infty_1(L(\mathcal E))$, and $α>-1$. Associated with the Toeplitz operator $T_B$ on the vector-valued weighted Bergman space $A^2_{α,\mathcal E}$ are the sub-Bergman spaces $\mathcal A_α(B)$ and $\mathcal A_α(B^*)$. In this paper, we prove that \[ \mathcal A_α(B)\supset A^2_{α-1,\mathcal H(B(0))} \quad\text{and}\quad \mathcal A_α(B^*)\supset A^2_{α-1,\mathcal H(B(0)^*)}. \] This confirms a conjecture of \cite{GLM26}. We also construct an infinite-dimensional two-sided inner function $B$ such that $\|B(0)\|<1$ and \[ \mathcal A_α(B)\approx \mathcal A_α(B^*)\approx A^2_{α-1,\mathcal E}, \] but $B$ is not a finite Blaschke-Potapov product. This example shows that the finite-dimensional rigidity theorem of \cite{GLM26} does not extend to infinite-dimensional coefficient spaces.

发表机构

• Hunan University（湖南大学）

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