三个标准差足够而一个不足
Three Standard Deviations Suffice While One Does Not
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中文总结 AI 辅助
本文改进了Spencer的“六个标准差足够”定理，通过势函数舍入法将上界降至约2.9992√n，并构造矩阵证明下界可超过1.0000002√n，首次突破Olson-Spencer的√n下界。
中文摘要 AI 辅助
Spencer 1985年的“六个标准差足够”定理表明，每个 $A \in [-1,1]^{n \times n}$ 都存在一个符号向量 $x \in \{-1,1\}^n$ 使得 $\\|Ax\\|_\infty \le 6\sqrt{n}$。我们通过直接将一个势函数的最小化者舍入到立方体的顶点，证明了上界 $\sqrt{3\operatorname{arsinh}(10)}\sqrt{n}+4 < 2.9992 \sqrt{n} + 4$。我们还证明了，对于每个 $n \ge 2^{50}$ 的2的幂，存在一个矩阵 $A \in \{-1,1\}^{n \times n}$ 使得对于所有符号选择 $x \in \{-1,1\}^n$，都有 $\\|Ax\\|_\infty > 1.0000002\sqrt{n}$。该构造只是将Hadamard矩阵的 $2^{-22}$ 比例的列替换为独立的随机符号向量。这是对Olson和Spencer（1978）使用Hadamard矩阵得到的 $\sqrt{n}$ 下界的首次改进。
英文摘要
Spencer's 1985 ``six standard deviations suffice'' theorem shows that every $A \in [-1,1]^{n \times n}$ has a sign vector $x \in \{-1,1\}^n$ with $\|Ax\|_\infty \le 6\sqrt{n}$. We show the upper bound $\sqrt{3\operatorname{arsinh}(10)}\sqrt{n}+4 < 2.9992 \sqrt{n} + 4$ by directly rounding the minimizer of a potential function to a vertex of the cube. We also show that, for every power of two $n \ge 2^{50}$, there exists a matrix $A \in \{-1,1\}^{n \times n}$ such that $\|Ax\|_\infty >1.0000002\sqrt{n}$ for every choice of signs $x \in \{-1,1\}^n$. The construction simply replaces a $2^{-22}$ fraction of the columns of a Hadamard matrix with independent random sign vectors. This is the first improvement over the $\sqrt{n}$ lower bound of Olson and Spencer (1978), which uses a Hadamard matrix.
发表机构
- Microsoft Research（微软研究院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
