发表机构
Indian Institute of Science Education and Research Tirupati; Indian Institute of Technology Bombay（印度科学教育研究所提鲁帕蒂分校; 孟买印度理工学院）
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本文分类了 $n=3,4$ 时 $\mathrm{GL}_n(\mathrm{D})$ 上具有广义线性周期的不可约光滑表示，并猜想对所有 $n>2$ 的完整分类，用 Langlands 参数刻画此类表示，同时验证了 Lapid-Prasad 猜想。
AI 中文摘要
设 $\mathrm{D}$ 是特征零的非阿基米德局部域 $\mathrm{F}$ 上的四元数除代数，令 $\mathrm{G}_n=\mathrm{GL}_n(\mathrm{D})$。设 $\mathrm{H}_{1,n-1}=\{\mathrm{diag}(g_1,g_2)\in\mathrm{G}_1,\\\\ g_2\in\mathrm{G}_{n-1}\}$，并对 $s \in \mathbb{R}$，定义 $\chi_s(\mathrm{diag}(g_1,g_2))=\nu(g_1)^{2s}\nu(g_2)^{-2s}$。我们对 $n=3,4$ 分类了 $\mathrm{G}_n$ 的不可约光滑表示，这些表示关于 $(\mathrm{H}_{1,n-1},\chi_s)$ 具有广义线性周期。受这些结果启发，我们猜想对所有 $n>2$ 存在完整分类。在此猜想成立的假设下，我们用 Langlands 参数刻画了此类表示：$\mathrm{G}_n$ 的不可约光滑表示 $\pi$ 具有这样的周期当且仅当 $\mathfrak{L}(\pi)$ 包含一个同构于 $\mathfrak{L}(\nu^{-2s})$ 的 Weil-Deligne 子表示，其中 $\mathfrak{L}(\nu^{-2s})$ 是 $\mathrm{G}_{n-2}$ 上 $\nu^{-2s}$ 的 $(2n-4)$ 维参数，并且四维商是 $\mathrm{G}_2$ 的平凡表示（此时 $s=\pm\frac{n-2}{2}$）或 $\mathrm{G}_2$ 的不可约无穷维 $\mathrm{H}_{1,1}$-可区分表示的 Langlands 参数。我们还在此情形下验证了 Lapid-Prasad 猜想：$\mathrm{G}_n$ 的关于 $\mathrm{H}_{1,n-1}$ 具有线性周期的不可约表示的 $L$-包在 $\rho\mapsto\widetilde{\rho}^{\theta}$ 下不变。
英文摘要
Let $\mathrm{D}$ be a quaternion division algebra over a non-Archimedean local field $\mathrm{F}$ of characteristic zero, and let $\mathrm{G}_n=\mathrm{GL}_n(\mathrm{D})$. Let $\mathrm{H}_{1,n-1}=\{\mathrm{diag}(g_1,g_2)\in\mathrm{G}_1,\ g_2\in\mathrm{G}_{n-1}\}$ and, for $s \in \mathbb{R}$, define $χ_s(\mathrm{diag}(g_1,g_2))=ν(g_1)^{2s}ν(g_2)^{-2s}$. We classify, for $n=3,4$, the irreducible smooth representations of $\mathrm{G}_n$ admitting a generalized linear period with respect to $(\mathrm{H}_{1,n-1},χ_s)$. Motivated by these results, we conjecture a complete classification for all $n>2$. Assuming this conjecture, we characterize such representations in terms of Langlands parameters: an irreducible smooth representation $π$ of $\mathrm{G}_n$ admits such a period if and only if $\mathfrak{L}(π)$ contains a Weil-Deligne subrepresentation isomorphic to $\mathfrak{L}(ν^{-2s})$, the $(2n-4)$-dimensional parameter of $ν^{-2s}$ on $\mathrm{G}_{n-2}$, and the four-dimensional quotient is the Langlands parameter of either the trivial representation of $\mathrm{G}_2$, with $s=\pm\frac{n-2}{2}$, or an irreducible infinite-dimensional $\mathrm{H}_{1,1}$-distinguished representation of $\mathrm{G}_2$. We also verify the Lapid-Prasad conjecture in this setting: the $L$-packet of an irreducible representation of $\mathrm{G}_n$ admitting a linear period with respect to $\mathrm{H}_{1,n-1}$ is invariant under $ρ\mapsto\widetildeρ^θ$.
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