发表机构
University of Science, Vietnam National University; University of Michigan（越南国立大学科学大学; 密歇根大学）
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本文证明在特定条件下，非 CM K3 曲面的 $\mu$-普通约化素数密度为 1，并给出普通约化素数密度公式及显式例子。
AI 中文摘要
根据 Bogomolov 和 Zarhin 的一个结果，数域 $L$ 上的 K3 曲面 $X$ 在 $L$ 的某个有限扩张后，在密度为 1 的素数集合上具有普通约化。本文针对非 CM K3 曲面（其超越 Hodge 结构的自同态域 $F$ 在 $\mathbb{Q}$ 上为阿贝尔域）改进此结果。我们进一步假设 $X$ 的 $l$-adic 单演群连通分量满足某个条件，并且当 $F$ 为全实域时，还假设超越格在 $F$ 上的秩满足一个奇偶性条件。在这些假设下，我们证明 $X$ 具有 $\mu$-普通约化的 $L$ 的素数集合的密度为 1。作为推论，$X$ 具有普通约化的 $L$ 的素数集合的密度为 $1/[FL:L]$。我们包含满足这些条件的 K3 曲面的显式例子。
英文摘要
By a result of Bogomolov and Zarhin, a K3 surface $X$ over a number field $L$ has ordinary reduction at a density 1 set of primes after passing to a finite extension of $L$. In this paper, we refine this result for non-CM K3 surfaces whose transcendental Hodge structure has endomorphism field $F$ abelian over $\mathbb{Q}$. We further assume a condition on the connected components of the $l$-adic monodromy group of $X$, and, when $F$ is totally real, a parity condition on the rank of the transcendental lattice over $F$. Under these assumptions, we prove that the set of primes of $L$ at which $X$ has $μ$-ordinary reduction has density $1$. As a corollary, the set of primes of $L$ at which $X$ has ordinary reduction has density $1/[FL:L]$. We include explicit examples of K3 surfaces satisfying these conditions.
