发表机构
Princeton University（普林斯顿大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过平铺基空间和分支覆盖方法，确定了 Xiao 亏格二纤维化在次数 3、4、5 下的消失循环，并给出了新的正分解。
AI 中文摘要
我们确定了 Xiao 亏格二纤维化 $X_d\ o P^1$（$d=3,4,5$）的消失循环，其纤维允许到固定椭圆曲线 $E$ 的次数为 $d$ 的映射。我们用三角形平铺基空间 $P^1$，并将曲面 $X_d$ 实现为 $P^1\ imes E$ 的次数为 $d$ 的分支覆盖。该覆盖描述给出了消失循环的显式算法。一条消失路径由它在平铺中穿过的边记录；每次穿过都会通过一个局部六边形移动改变纤维的标记图像，而消失循环从最终图像中读出。我们获得了 $7$、$13$ 和 $31$ 个消失循环，作为标记参考纤维中的显式曲线。对于 $d=4,5$，这些给出了亏格二映射类群中单位元的新的正分解，类型分别为 $(6,7)$ 和 $(12,19)$。
英文摘要
We determine the vanishing cycles of Xiao's genus-two fibrations $X_d\to P^1$, $d=3,4,5$, whose fibers admit degree-$d$ maps to a fixed elliptic curve $E$. We tile the base $P^1$ by triangles and realize the surface $X_d$ as a degree-$d$ branched cover of $P^1\times E$. The covering description gives an explicit algorithm for the vanishing cycles. A vanishing path is recorded by the sides it crosses in the tiling; each crossing changes a labelled picture of the fiber by a local hexagon move, and the vanishing cycle is read from the terminal picture. We obtain the $7$, $13$, and $31$ vanishing cycles as explicit curves in a marked reference fiber. For $d=4,5$, these give new positive factorizations of the identity in the genus-two mapping class group, of types $(6,7)$ and $(12,19)$.
Comments24 pages, 23 figures
