AI 中文总结
本文研究无界 Vicsek 集上拉普拉斯分数幂的 Riesz 与逆 Riesz 不等式，确定了临界分数阶，并证明了弱型逆不等式及 Riesz 变换在特定 p 范围内的有界性。
AI 中文摘要
我们研究了无界 Vicsek 集上拉普拉斯算子 $\Delta$ 的分数幂的 Riesz 不等式和逆 Riesz 不等式。该空间承载其 Hausdorff 测度 $m$。梯度 $\partial$ 是定义在骨架上的弱梯度，并且它是相对于长度测度 $\nu$ 来测量的，该长度测度与 $m$ 奇异。Riesz 不等式的相关分数阶不是 $1/2$ 而是 $\gamma_{p}=\frac{d_f+p-1}{pd_w}$，其中 $d_f=\log_{3}5$ 且 $d_w=d_f+1$。对于 $p\in[1,2]$，我们证明了弱型逆 Riesz 不等式 $\\|(-\Delta)^{\gamma_p}f\\|_{L^{p,\infty}(m)}\lesssim\\|\partial f\\|_{L^p(\nu)}$。相应的强估计在 $1\le p<2$ 时失败，而弱估计在 $2<p<\infty$ 时失败，即使在热正则化之后也是如此。对于 Riesz 变换 $\mathcal{R}_p=\partial(-\Delta)^{-\gamma_p}$，我们证明了 $\mathcal{R}_1$ 不是弱型 $(1,1)$ 的，但 $\mathcal{R}_p$ 对于 $p\in(1,2)$ 从 $L^p(m)$ 到 $L^{p,\infty}(\nu)$ 是有界的，对于 $p\in(2,\infty)$ 从 $L^{p,1}(m)$ 到 $L^p(\nu)$ 是有界的。然而，如果 $p \ge 1$，$\mathcal{R}_p$ 从 $L^p(m)$ 到 $L^p(\nu)$ 的有界性仅对 $p=2$ 成立。
英文摘要
We study Riesz and reverse Riesz inequalities for the fractional powers of the Laplacian $Δ$ on the unbounded Vicsek set. The space carries its Hausdorff measure $m$. The gradient $\partial$ is a weak gradient defined on the skeleton, and it is measured with respect to a length measure $ν$ that is singular with respect to $m$. The relevant fractional order for the Riesz inequalities is not $1/2$ but $γ_{p}=\frac{d_f+p-1}{pd_w}$, where $d_f=\log_{3}5$ and $d_w=d_f+1$. For $p\in[1,2]$, we prove the weak-type reverse Riesz inequality $\|(-Δ)^{γ_p}f\|_{L^{p,\infty}(m)}\lesssim\|\partial f\|_{L^p(ν)}$. The corresponding strong estimate fails for $1\le p<2$, whereas the weak estimate fails for $2<p<\infty$, even after heat regularization. For the Riesz transform $\mathcal{R}_p=\partial(-Δ)^{-γ_p}$, we show that $\mathcal{R}_1$ is not of weak type $(1,1)$ but that $\mathcal{R}_p$ is bounded from $L^p(m)$ to $L^{p,\infty}(ν)$ for $p\in(1,2)$, and from $L^{p,1}(m)$ to $L^p(ν)$ for $p\in(2,\infty)$. However, if $p \ge 1$, $\mathcal{R}_p$ is bounded from $L^p(m)$ to $L^p(ν)$ only for $p=2$.
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