齐次树上的 Fisher--KPP 方程的对数 Bramson 修正

中文摘要 AI 辅助

本文研究齐次 \\((q+1)\\)-正则树 \\(\TT_{q+1}\\) 上的 Fisher--KPP 方程 \\[ \partial_t u = \alpha\Delta_{\TT_{q+1}}u+\beta u(1-u), \\] 其中 \\(q\geq2\\)，初始数据为非平凡、紧支撑的径向函数。我们首先获得相应线性化问题基本解的显式表示，以及尖锐的双侧逐点估计。这些估计确定了传播阈值 \\[ \beta>\alpha(\sqrt q-1)^2 \\] 并给出了相应的临界速度 \\(c_\ast\\) 和衰减率 \\(\lambda_\ast\\)。在此区域内，我们证明对每个固定的 \\(\theta\in(0,1)\\)，最外层 \\(\theta\\)-水平集满足 \\[ \kappa_\theta(t) = c_\ast t-\frac{3}{2\lambda_\ast}\log t+O(1), \qquad t\to\infty. \\] 因此，虽然分支几何影响传播阈值和临界参数的值，但经典的 Bramson 因子 \\(3/2\\) 仍然存在。我们的结果因此将经典传播和对数延迟现象（先前已知于一维连续和离散 Fisher--KPP 模型）推广到齐次树。

英文摘要

In this paper, we study the Fisher--KPP equation \[ \partial_t u = αΔ_{\TT_{q+1}}u+βu(1-u), \] on the homogeneous \((q+1)\)-regular tree \(\TT_{q+1}\), with \(q\geq2\), for nontrivial, compactly supported radial initial data. We first obtain an explicit representation of the fundamental solution of the corresponding linearized problem, together with sharp two-sided pointwise estimates. These estimates identify the propagation threshold \[ β>α(\sqrt q-1)^2 \] and determine the associated critical speed \(c_\ast\) and decay rate \(λ_\ast\). In this regime, we prove that, for every fixed \(θ\in(0,1)\), the outermost \(θ\)-level set satisfies \[ κ_θ(t) = c_\ast t-\frac{3}{2λ_\ast}\log t+O(1), \qquad t\to\infty. \] Therefore, while the branching geometry affects the threshold for propagation and the values of the critical parameters, the classical Bramson factor \(3/2\) persists. Our results therefore extend classical propagation and logarithmic-delay phenomena, previously known for one-dimensional continuous and discrete Fisher--KPP models, to homogeneous trees.

发表机构

• Universidad del Norte（北大学）
• Facultad de Ciencias, Universidad de Cádiz（加的斯大学理学院）
• Instituto de Matemáticas, Universidad de Talca（塔尔卡大学数学研究所）
• Instituto de Ciencias de la Ingeniería, Universidad de O’Higgins（奥希金斯大学工程科学研究所）

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