发表机构
University of Georgia; Max Planck Institute for Mathematics（佐治亚大学; 马克斯·普朗克数学研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明在函数域上，椭圆曲线的秩在满足同余条件的正比例 $\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$ 扩张中保持不变，方法为分析辅助阿贝尔簇的素数 Selmer 群分布。
AI 中文摘要
固定一个素数 $\ell$。设 $K = \mathbb{F}_q(t)$ 为一个全局函数域，满足 $\gcd(q,6) = 1$ 且 $q \equiv 1 \pmod \ell$。设 $E$ 为 $K$ 上的一条非各向同性椭圆曲线。给定 $\mathbb{F}_q$ 上的一个固定首一多项式 $Q$，并假设 $E$ 满足一些温和条件，我们证明：当 $f$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上的首一多项式中变化，且满足 $f \equiv A \pmod Q$（$A$ 为任意给定多项式）时，$E$ 的秩在正比例的 $\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}$ 扩张 $K(\sqrt[\ell]{f})/K$ 中保持不变。我们通过结合解析和概率技术来研究由这些多项式 $f$ 构造的辅助阿贝尔簇的某些素数 Selmer 群的分布，从而得到这一结果。
英文摘要
Fix a prime $\ell$. Let $K = \mathbb{F}_q(t)$ be a global function field such that $\gcd(q,6) = 1$ and $q \equiv 1 \pmod \ell$. Let $E$ be a non-isotrivial elliptic curve over $K$. Given a fixed monic polynomial $Q$ over $\mathbb{F}_q$, and assuming some mild conditions on $E$, we show that the rank of $E$ does not change with respect to a positive proportion of $\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}$ extensions $K(\sqrt[\ell]{f})/K$, as $f$ varies over the set of monic polynomials over $\mathbb{F}_q$ such that $f \equiv A \pmod Q$ for any given polynomial $A$. We obtain this result by combining analytic and probabilistic techniques to study the distribution of certain prime Selmer groups of auxiliary abelian varieties constructed from these polynomials $f$.
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