$q$-变形有理数分母的分圆因子与不可约性
Cyclotomic factors and irreducibility of the denominators of $q$-deformed rational numbers
- Department of Computer and Information Sciences, Ibaraki University（茨城大学计算机与信息科学系）
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AI总结：
本文研究 $q$-变形有理数分母的分圆因子整除性，证明相关猜想，并给出特定情形下分母的不可约性。
AI中文摘要：
对于 $d\ge2$，在原始 $d$ 次单位根处特化的 $q$-变形模群是类型为 $(2,3,d)$ 的三角形群。利用这一点，我们确定了使得第 $d$ 个分圆多项式整除 $q$-变形有理数 $[r/s]_q$ 的分母 $S_{r/s}(q)$ 的分数 $r/s$。它们构成 $\infty$ 在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 中平移 $z\mapsto z+d$ 的正规闭包下的轨道。这证明了 Byakuno、Ren 和 Yanagawa 的一个猜想，并表明同余 $s\equiv0$ 和 $r\equiv\pm1$ 模 $d$ 恰好刻画了 $d\le5$ 时的整除性。对于 $a\in\{2,3,4,6\}$ 且 $n>5a^2$ 与 $a$ 互素，我们证明 $S_{a/n}(q)$ 在分圆因子意义下不可约。结合对小素数的计算机检验，这证实了 Kogiso、Ren、Wakui、Yanagawa 和作者关于每个素数 $p$ 及每个与 $p$ 互素且满足 $r\equiv\pm a$ 或 $ar\equiv\pm1\pmod p$ 的 $r$ 的猜想。
英文摘要：
For $d\ge2$ the $q$-deformed modular group specialized at a primitive $d$-th root of unity is the triangle group of type $(2,3,d)$. Using this we determine the fractions $r/s$ for which the $d$-th cyclotomic polynomial divides the denominator $S_{r/s}(q)$ of the $q$-deformed rational number $[r/s]_q$. They form the orbit of $\infty$ under the normal closure of the translation $z\mapsto z+d$ in $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$. This proves a conjecture of Byakuno, Ren and Yanagawa, and shows that the congruences $s\equiv0$ and $r\equiv\pm1$ modulo $d$ characterize the divisibility exactly for $d\le5$. For $a\in\{2,3,4,6\}$ and $n>5a^2$ prime to $a$ we show that $S_{a/n}(q)$ is irreducible up to cyclotomic factors. Together with a computer check for small primes, this confirms a conjecture of Kogiso, Ren, Wakui, Yanagawa and the author for every prime $p$ and every $r$ prime to $p$ with $r\equiv\pm a$ or $ar\equiv\pm1\pmod p$.
