发表机构
Qiuzhen College, Tsinghua University（邱成栋数学科学中心，清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造了标准 $S^2\times S^2$ 上具有两个不动点的哈密顿微分同胚，通过鞍点合并与混合生成函数给出 Arnold 猜想退化版本的反例。
AI 中文摘要
我们构造了等面积辛乘积 $S^2\times S^2$ 上的一个具有两个不动点的哈密顿微分同胚。论证始于一个具有四个不动点的映射，然后过渡到反对角线附近的重标度余切坐标，并将局部不动点方程归结为两个平面鞍点问题。一种相对修改合并了每对鞍点，并利用混合生成函数将该修改转移到原始映射。我们详细解释了沿水平弧的正规形、Moser 方程、混合生成函数的均匀存在性、参数选择的顺序以及整体图论证。该构造为 Arnold 提出的 Arnold 猜想的退化版本（当流形为标准 $S^2\times S^2$ 时）提供了一个反例。本工作与 ChatGPT 合作完成。作者提出了研究 $\Phi_\rho$ 极限行为的想法。GPT 提出了使用第二生成函数构造该哈密顿映射的关键想法。此外，大部分计算由 GPT 完成。
英文摘要
We give a construction of a Hamiltonian diffeomorphism of the equal-area symplectic product $S^2\times S^2$ with two fixed points. The argument starts with a four-fixed-point map, passes to rescaled cotangent coordinates near the antidiagonal, and reduces the local fixed-point equations to two planar saddle problems. A relative modification merges each pair of saddles, and mixed generating functions are used to transfer the modification to the original map. We include detailed explanations of the normal form along a level arc, the Moser equation, uniform existence of mixed generating functions, the order of parameter choices, and the global graph argument. This construction gives a counterexample to the degenerate version of Arnold's conjecture proposed by Arnold\cite{Arnold86} when the manifold is standard $S^2\times S^2$. This work is done with ChatGPT. The author gave the idea to study the limit behavior of $Φ_ρ$. GPT suggested a key idea of using second generating function to construct this Hamiltonian. Also, most of the computation is done by GPT.
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