发表机构
South China Normal University; Beijing Institute of Technology, Zhuhai; Nankai University; Beijing Normal University（华南师范大学; 北京理工大学（珠海）; 南开大学; 北京师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对高余维中Lu第二间隙猜想，通过构造稠密Q值的齐次极小嵌入证明其在余维≥n+1时失效，并证明在余维二中对所有n≥3成立。
AI 中文摘要
设 $M^n\to\Sph^{n+q}(1)$，$n\ge3$ 且 $q\ge2$，为闭极小浸入。令 $S=|h|^2$ 且 $Q=S+\lambda_2$，其中 $h$ 为第二基本形式，$\lambda_2$ 为 Lu 基本矩阵的第二大特征值。我们建立了关于 Lu 第二间隙猜想的两个互补结果。首先，对每个 $n\ge3$，我们构造了 $\Sph^1\times\Sph^{n-1}$ 到 $\Sph^{2n+1}(1)$ 的闭连通齐次极小嵌入，具有常数 $S$ 和常数 $Q$，且其 $Q$ 值在 $(n,2n)$ 中稠密。全测地包含在任意余维 $q\ge n+1$ 下给出同样的稠密性。因此，即使在常数量曲率下，Lu 猜想在这些余维中也不成立。其次，对每个 $n\ge3$，我们证明存在仅依赖于 $n$ 的 $\gamma_n>0$，使得不存在闭连通极小浸入 $\Sph^{n+2}(1)$ 具有常数 $Q$ 且满足 $n<Q<n+\gamma_n$。因此，Lu 第二间隙猜想在余维二中对所有 $n\ge3$ 成立。
英文摘要
Let $M^n\to\mathbb{S}^{n+q}(1)$ be a closed connected minimal immersion, where $n\ge3$, and set $Q=S+λ_2$, with $S=|h|^2$ and $λ_2$ the second largest eigenvalue of Lu's fundamental matrix. We determine the sharp codimension range for Lu's second-gap conjecture. For every $2\le q\le n$, there exists $γ_{n,q}>0$ such that, if $Q$ is constant and $Q>n$, then $Q\ge n+γ_{n,q}$. Conversely, for every $q\ge n+1$, we construct closed connected homogeneous minimal embeddings, followed when necessary by totally geodesic inclusions, with constant scalar curvature and constant $Q$-values dense in $(n,2n)$. Thus, in every dimension $n\ge3$, Lu's conjecture holds precisely for $q\le n$. Combined with the theorem of Peng-Terng for hypersurfaces and the recent resolution of the two-dimensional case, this gives a complete resolution of Lu's second-gap conjecture: for every $n\ge2$, the conjecture holds exactly when $q\le n$ and fails when $q\ge n+1$. In codimension two we further obtain the explicit admissible gap $γ_{n,2}=\exp(-10^{16}n^2)$.
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