Reed--Solomon 码的向日葵
Sunflowers of Reed--Solomon Codes
- Tel Aviv University（特拉维夫大学）
- Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
- Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉范维特利大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文引入 Reed--Solomon 向日葵概念，给出代数判据并研究其大小，在二维情形完全确定，高维给出递归构造和贪心存在性论证，并应用于构造 MDS 码族。
AI中文摘要：
我们引入并研究了 Reed--Solomon 向日葵，即一族 Reed--Solomon 码，其两两交集都等于同一个固定子空间。这一概念处于极值子空间组合学与编码理论的交汇点：它可以被视为 Grassmann 流形中向日葵问题的结构化版本，并且自然地产生具有规定最小距离的常维子空间码。我们主要关注中心为全一向量生成的一维空间的情形。我们给出了一个用广义 $V$-矩阵表示的代数判据，确保一族 Reed--Solomon 码构成这样的向日葵。然后我们通过计数和构造来研究这些族的大小。在二维情形，我们证明所有不同的 Reed--Solomon 码构成一个向日葵，并通过对其求值向量进行仿射等价类计数来确定其大小。对于固定维数 $k\geq3$ 和长度 $\ell\geq2k-1$，我们给出了一个显式的递归构造，具有 $\Omega_{k,\ell}(q^{\lfloor\ell/(2k-1)\rfloor})$ 个花瓣，以及一个贪心存在性论证，当 $q\to\infty$ 时具有 $\Omega_{k,\ell}(q^{\ell-2k+2})$ 个花瓣。我们还应用贪心论证来获得大小为 $\Omega_{k,\ell}(q^{2(\ell-2k+2)})$ 的 $[\ell,k]_q$ MDS 码族，其两两交集的维数至多为 1，但不必相等。
英文摘要：
We introduce and study Reed--Solomon sunflowers, namely families of Reed--Solomon codes whose pairwise intersections are all equal to the same fixed subspace. This notion lies at the intersection of extremal subspace combinatorics and coding theory: it can be viewed as a structured version of the sunflower problem in the Grassmannian, and it naturally produces constant-dimension subspace codes with prescribed minimum distance. We focus mainly on the case in which the center is the one-dimensional space generated by the all-one vector. We give an algebraic criterion, expressed in terms of generalized $V$-matrices, ensuring that a family of Reed--Solomon codes forms such a sunflower. We then study the size of these families through counting and constructions. In dimension two, we show that all distinct Reed--Solomon codes form a sunflower and determine its size by counting Reed--Solomon codes up to affine equivalence of their evaluation vectors. For fixed dimension $k\geq3$ and length $\ell\geq2k-1$, we give an explicit recursive construction with $Ω_{k,\ell}(q^{\lfloor\ell/(2k-1)\rfloor})$ petals and a greedy existence argument with $Ω_{k,\ell}(q^{\ell-2k+2})$ petals as $q\to\infty$. We also apply the greedy argument to obtain families of $[\ell,k]_q$ MDS codes of size $Ω_{k,\ell}(q^{2(\ell-2k+2)})$, whose pairwise intersections have dimension at most one but need not be equal.
