发表机构
Indian Institute of Science Education and Research Pune; Shiv Nadar University（印度科学教育研究所浦那分校; 希夫纳达尔大学）
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本文对环面Deligne--Mumford栈上的带框环面主丛进行分类，利用分片线性映射描述等变自同构群及结构群约化条件，并证明加权射影栈上主丛的等变分裂结果。
AI 中文摘要
设 $\mathscr{X}(\boldsymbol{\Sigma})$ 为与栈扇 $\boldsymbol{\Sigma} = (N,\Sigma, \beta)$ 相关联的、具有栈环面 $\mathscr{T}$ 的环面Deligne--Mumford栈。$\mathscr{X}(\boldsymbol{\Sigma})$ 上的环面主 $H$-丛是配备有提升 $\mathscr{X}(\boldsymbol{\Sigma})$ 上 $\mathscr{T}$-作用的 $\mathscr{T}$-作用的主 $H$-丛 $\mathscr{P}$，使得 $\mathscr{P}$ 上的 $\mathscr{T}$-作用与 $H$-作用可交换。对于 $\mathbb{C}$ 上的连通约化代数群 $H$，我们利用从 $|\Sigma|$ 到 $H$ 的Tits建筑上的锥的分片线性映射，对 $\mathscr{X}(\boldsymbol{\Sigma})$ 上的带框环面主 $H$-丛的同构类进行分类。利用此分类，我们描述了环面主 $H$-丛的等变自同构群，并给出了结构群等变约化的充分必要条件。我们还证明了：当 $r < n$ 时，加权射影栈 $\mathbb{P}(w_0,\dots,w_n)$ 上的每个环面主 $\mathrm{GL}(r)$-丛都等变分裂；当 $H$ 是连通约化代数群时，加权栈射影线 $\mathbb{P}(a,b)$ 上的每个环面主 $H$-丛都等变分裂。
英文摘要
Let $\mathscr{X}(\boldsymbolΣ)$ be the toric Deligne--Mumford stack with stacky torus $\mathscr{T}$ associated to the stacky fan $\boldsymbolΣ = (N,Σ, β)$. A toric principal $H$-bundle over $\mathscr{X}(\boldsymbolΣ)$ is a principal $H$-bundle $\mathscr{P}$ equipped with a $\mathscr{T}$-action lifting the $\mathscr{T}$-action on $\mathscr{X}(\boldsymbolΣ)$, such that the $\mathscr{T}$-action and the $H$-action on $\mathscr{P}$ commute. For a connected reductive algebraic group $H$ over $\mathbb{C}$, we classify the isomorphism classes of framed toric principal $H$-bundles over $\mathscr{X}(\boldsymbolΣ)$ in terms of piecewise linear maps from $|Σ|$ to the cone over the Tits building of $H$. Using this classification, we describe the equivariant automorphism group of a toric principal $H$-bundle, and give a necessary and sufficient condition for an equivariant reduction of the structure group. We also show that every toric principal $\mathrm{GL}(r)$-bundle over the weighted projective stack $\mathbb{P}(w_0,\dots,w_n)$ splits equivariantly whenever $r < n$, and that every toric principal $H$-bundle over the weighted stacky projective line $\mathbb{P}(a,b)$ splits equivariantly when $H$ is a connected reductive algebraic group.
Comments32 pages
