Conway-Parker 代数与最大 Fischer 群
The Conway-Parker algebra and the largest Fischer group
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本文从 783 维 Conway-Parker 代数直接构造三个散在 Fischer 群，通过根定义的射影作用生成完整群，并利用根和框架几何证明简单性及群阶，不依赖 Monster 或先前存在性结果。
中文摘要 AI 辅助
我们给出从 783 维 Conway-Parker 代数直接、自足地构造三个散在 Fischer 群 $\mathrm{Fi}_{24}'$、$\mathrm{Fi}_{23}$ 和 $\mathrm{Fi}_{22}$ 的方法。我们证明其显著根定义了对合代数自同构，这些自同构的射影作用生成完整的 Fischer 3-换位群 $\mathrm{Fi}_{24}$。其换位子群给出 $\mathrm{Fi}_{24}'$，而 $\mathrm{Fi}_{23}$ 和 $\mathrm{Fi}_{22}$ 作为与一个和两个交换换位相关联的中心化子商出现。根和框架几何决定了群的阶，并导致简单性的初等证明，以及自然的秩三作用和非分裂中心扩张。该构造使用关于 Golay 码、Parker 环和 $M_{24}$ 的标准事实。它不使用 Monster 或先前已知的 Fischer 群存在性或阶的结果。Fischer 的分类和后来的识别定理仅用于最终识别。
英文摘要
We give a direct, self-contained construction of the three sporadic Fischer groups $\mathrm{Fi}_{24}'$, $\mathrm{Fi}_{23}$, and $\mathrm{Fi}_{22}$ from the $783$-dimensional Conway-Parker algebra. We prove that its distinguished roots define involutory algebra automorphisms whose projective actions generate the full Fischer $3$-transposition group $\mathrm{Fi}_{24}$. Its commutator subgroup gives $\mathrm{Fi}_{24}'$, while $\mathrm{Fi}_{23}$ and $\mathrm{Fi}_{22}$ arise as centralizer quotients associated with one and two commuting transpositions. The root and frame geometry determines the group orders and leads to elementary proofs of simplicity, as well as natural rank-three actions and nonsplit central extensions. The construction uses standard facts about the Golay code, Parker's loop, and $M_{24}$. It does not use the Monster or previously known existence or order results for the Fischer groups. Fischer's classification and later recognition theorems are used only for the final identification.
发表机构
- Kansas State University（堪萨斯州立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
