随机二元子集和集中的算术级数
Arithmetic Progressions in a Random Binary Subset-Sum Set
- Eötvös University（厄特沃什大学）
- Alfréd Rényi Institute（阿尔弗雷德·雷尼研究所）
- Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences at Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
- Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数理科学研究所）
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AI总结：
该论文研究随机二元子集和集中算术级数的最大长度，证明了下界为指数型，上界为N^{2/3}乘指数因子，并给出最终周期序列的平方根下界。
AI中文摘要：
设 $u=(u_n)_{n\ge0}$ 为二元序列，定义 \\[ X_0=1,\qquad X_{n+1}=2X_n+u_n \qquad(n\ge0). \\] 令 $A_u$ 为序列 $(X_n)$ 的所有非空有限子集和构成的集合，并令 $L_u(N)$ 表示包含于 $A_u\cap[1,N]$ 中的算术级数的最大长度。我们证明存在绝对常数 $c>0$ 和 $N_0\geq 1$，使得对于每个二元序列 $u$，对所有 $N\geq N_0$ 有 \\[ L_u(N)\ge \exp\\!\left(c\sqrt{\frac{\log N}{\log\log N}}\right). \\] 此外，若随机变量 $u_n$ 独立且在 $\{0,1\}$ 上均匀分布，则几乎必然地 \\[ L_u(N)\ll_u N^{2/3}\exp\\!\left(C\sqrt{\log N\log\log N}\right), \\] 其中 $C>0$ 为绝对常数。进一步地，每个最终周期的二元序列满足 $L_u(N)\gg_u N^{1/2}$。
英文摘要：
Let $u=(u_n)_{n\ge0}$ be a binary sequence, and define \[ X_0=1,\qquad X_{n+1}=2X_n+u_n \qquad(n\ge0). \] Let $A_u$ be the set of all nonempty finite subset sums of the sequence $(X_n)$, and let $L_u(N)$ denote the maximum length of an arithmetic progression contained in $A_u\cap[1,N]$. We prove that there are absolute constants $c>0$ and $N_0\geq 1$ such that, for every binary sequence $u$, \[ L_u(N)\ge \exp\!\left(c\sqrt{\frac{\log N}{\log\log N}}\right) \] for all $N\geq N_0$. Moreover, if the random variables $u_n$ are independent and uniformly distributed on $\{0,1\}$, then, almost surely, \[ L_u(N)\ll_u N^{2/3}\exp\!\left(C\sqrt{\log N\log\log N}\right), \] where $C>0$ is an absolute constant. Furthermore, every eventually periodic binary sequence satisfies $L_u(N)\gg_u N^{1/2}$.
