作用于射影线上的 $\operatorname{PGL}_{2}(q)$ 的错排图的自同构群
The automorphism group of the derangement graph of $\operatorname{PGL}_{2}(q)$ acting on the projective line
- University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
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AI总结：
本文确定了 $\operatorname{PGL}_{2}(q)$ 在射影线上的自然作用对应的错排图的自同构群，给出了其精确结构，即左右正则表示与共轭及逆映射生成的群的半直积。
AI中文摘要：
给定一个有限传递群 $G\leq \operatorname{Sym}(\Omega)$，错排图 $\Gamma_G$ 是以 $G$ 为顶点集的图，其中两个顶点 $g$ 和 $h$ 相邻当且仅当比值 $h^{-1}g$ 是一个无固定点置换。本文证明了对应于 $\operatorname{PGL}_{2}(q)$ 在射影线 $\operatorname{PG}_{1}(q)$ 上的自然作用的传递置换群的错排图的自同构群为 \begin{align*} \operatorname{Aut}(\Gamma_{\operatorname{PGL}_{2}({q})}) = \left(L_{\operatorname{PGL}_2(q)}\times R_{\operatorname{PGL}_2(q)}\right) \rtimes \left(\langle \psi \rangle \times \gamma_{\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)}\right), \end{align*} 其中 $L_{\operatorname{PGL}_2(q)}$ 是 $\operatorname{PGL}_2(q)$ 的左正则表示，$R_{\operatorname{PGL}_2(q)}$ 是 $\operatorname{PGL}_2(q)$ 的右正则表示，$\gamma_{\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)}$ 是由 $\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)$ 的元素共轭构成的群，而 $\psi: \operatorname{PGL}_2(q) \to \operatorname{PGL}_2(q)$ 满足 $\psi(x) = x^{-1}$。
英文摘要：
Given a finite transitive group $G\leq \operatorname{Sym}(Ω)$, the derangement graph $Γ_G$ is the graph whose vertex set is $G$, and two vertices $g$ and $h$ are adjacent if the ratio $h^{-1}g$ is a fixed-point-free permutation. In this paper, we show that the automorphism group of the derangement graph of the transitive permutation group corresponding to the natural action of $\operatorname{PGL}_{2}(q)$ on the projective line $\operatorname{PG}_{1}(q)$ is \begin{align*} \operatorname{Aut}(Γ_{\operatorname{PGL}_{2}({q})}) = \left(L_{\operatorname{PGL}_2(q)}\times R_{\operatorname{PGL}_2(q)}\right) \rtimes \left(\langle ψ\rangle \times γ_{\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)}\right), \end{align*} where $L_{\operatorname{PGL}_2(q)}$ is the left-regular representation of $\operatorname{PGL}_2(q)$, $R_{\operatorname{PGL}_2(q)}$ is the right-regular representation of $\operatorname{PGL}_2(q)$, $γ_{\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)}$ is the group of conjugation by elements of $\operatorname{Aut}(\mathbb{F}_q)$, and $ψ: \operatorname{PGL}_2(q) \to \operatorname{PGL}_2(q)$ such that $ψ(x) = x^{-1}$.
