发表机构
CNRS & Institut Élie Cartan de Lorraine; Institute for Mathematics, Astrophysics and Particle Physics, Radboud University; School of Mathematical Sciences, University of Southampton; Department of Mathematics, Washington University（法国国家科学研究中心与埃利·嘉当洛林研究所; 拉德堡德大学数学、天体物理和粒子物理研究所; 南安普顿大学数学科学学院; 华盛顿大学数学系）
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本文研究实约化对称空间的Plancherel测度支集，引入良态对称空间类，用Cartan子群特征描述其支集与Fell拓扑，并应用于描述相关C*-代数及其K-理论。
AI 中文摘要
设 $X=G/H$ 为实约化对称空间。我们考虑 $G$ 在 $L^2(X)$ 上的正则表示的 Plancherel 测度的支集及其 Fell 拓扑。我们首先回顾 $X$ 的 Plancherel 公式（由 Delorme 和 van den Ban--Schlicktrull 等人的工作已知）如何通过较小对称空间的离散谱给出支集的描述。然后我们指出，对于一类我们称之为良态的实对称空间 $X$，该描述可以简化。这些空间是其在单位陪集处的切空间允许一个 Cartan 子空间，且该子空间在 $G$ 的李代数中的中心化子是阿贝尔的。良态空间在 Benoist 和 Kobayashi 的意义上是温带的。在关于 $G$ 的不连通性的温和假设下，我们给出了良态对称空间的 Plancherel 测度支集用 $G$ 的 Cartan 子群的特征描述，并描述了支集的 Fell 拓扑。若 $G$ 是复群且 $H$ 是实形式，则支集分解为相对连续参数空间被有限 Weyl 群作用的显式商空间的并集。作为应用，我们描述了与 $G$ 在 $L^2(X)$ 上的正则表示相关的 $C^*$-代数及其 $K$-理论。
英文摘要
Let $X=G/H$ be a real reductive symmetric space. We consider the support of the Plancherel measure for the regular representation of $G$ on $L^2(X)$, and its Fell topology. We first recall how the Plancherel formula for $X$ (known from work of Delorme and van den Ban--Schlicktrull, among others) yields a description of the support in terms of the discrete spectra of smaller symmetric spaces. We then point out that this description simplifies for a class of real symmetric spaces $X$ which we call well-tempered. These are the spaces whose tangent space at the identity coset admits a Cartan subspace whose centralizer in the Lie algebra of $G$ is abelian. Well-tempered spaces are tempered in the sense of Benoist and Kobayashi. Under mild assumptions on the disconnectedness of $G$, we give a description of the support of the Plancherel measure for well-tempered symmetric spaces in terms of characters of Cartan subgroups of $G$, and describe the Fell topology of the support. If $G$ is a complex group and $H$ a real form, then the support decomposes as a union of explicit quotients of relative continuous-parameter spaces by finite Weyl groups. As an application, we describe the $C^*$-algebra associated to the regular representation of $G$ on $L^2(X)$, and its $K$-theory.
Comments60 pages
