发表机构
The University of South Florida; Pennsylvania State University（南佛罗里达大学; 宾夕法尼亚州立大学）
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本文利用超奇异 Drinfeld 模的挠元构造秩度量下的斜循环码，证明码与子模的格反同构及秩-BCH 界，设计距离等于真实距离。
AI 中文摘要
我们在秩度量下从超奇异 Drinfeld 模 $\phi_T=t+\tau^n$ 在 $\mathbb{F}_{q^r}$ 上的挠元构造斜循环码，其中 $t$ 是次数为 $r$ 且与 $n$ 互素的首一不可约多项式 $\mathfrak{p}_0\in\mathbb{F}_q[T]$ 的根。对于每个次数为 $d$ 的素理想 $\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}_0$ 以及 $n$ 的每个因子 $m$，挠元 $\phi[\mathfrak{p}]$ 是子环 $R_0=\kappa[\pi^m]$ 上的自由模，其中 $\kappa=\mathbb{F}_q[T]/\mathfrak{p}$，$\pi=\tau^r$ 是 Frobenius 的一个幂，且这些码是 $R_0$ 的中心化子 $R\cong\mathrm{Mat}_m(R_0)$ 的左理想。我们证明了码与 $\phi[\mathfrak{p}]$ 的 $R_0$-子模之间的格反同构，以及一个秩-BCH 界，其设计距离等于真实距离。
英文摘要
We construct skew cyclic codes in the rank metric from the torsion of the supersingular Drinfeld module $ϕ_T=t+τ^n$ over $\mathbb{F}_{q^r}$, where $t$ is a root of a monic irreducible $\mathfrak{p}_0\in\mathbb{F}_q[T]$ of degree $r$ coprime to $n$. For every prime $\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}_0$ of degree $d$ and every divisor $m$ of $n$, the torsion $ϕ[\mathfrak{p}]$ is a free module over the subring $R_0=κ[π^m]$ generated by a power of the Frobenius $π=τ^r$, $κ=\mathbb{F}_q[T]/\mathfrak{p}$, and the codes are the left ideals of the centralizer $R\cong\mathrm{Mat}_m(R_0)$ of $R_0$. We prove a lattice anti-isomorphism between codes and $R_0$-submodules of $ϕ[\mathfrak{p}]$, and a rank-BCH bound whose designed distance is the true distance.
