高斯空间中的锐利散度不等式与Bernstein-Markov不等式

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我们证明了高斯空间中的两个无维度估计。第一个是关于高斯散度的最优Meyer型不等式：对于$p\geq2$，\\[ \\|\delta V\\|_{L^p(\gamma_d)} \leq \sqrt p\\,|\mathbb E V| +Cp\\,\\|DV\\|_{L^p(\gamma_d;\mathrm{HS}_d)}\\,. \\] 这里$\mathrm{HS}_d$是$d\times d$矩阵空间，配备Hilbert-Schmidt范数。其主要成分是二阶变换$D^2\mathcal N^{-1}$的无维度弱型$(1,1)$界，其中$\mathcal N:= -\Delta+x\cdot D$是Ornstein-Uhlenbeck算子。我们还在附录中包含了较弱的有界导数散度不等式的直接变量替换证明。第二个结果是高斯Bernstein-Markov不等式。如果$P$是一个多项式，$p\geq2$，且$m_p:= (\mathbb E|g|^p)^{1/p}$（其中$g$为标准高斯变量），则\\[ \\|DP\\|_{L^p(\gamma_d;\mathbb R^d)} \leq\frac{2\sqrt{2e\\, \mathrm{deg}(P)}}{m_p}\\,\\|P\\|_{L^p(\gamma_d)}\\,. \\] 当$p$为偶数，或$P$为偶函数或奇函数时，因子$2$是不必要的。因此，在整个范围$p\geq2$内，常数阶为$\sqrt{\mathrm{deg}(P)/p}$。

英文摘要

We prove two dimension-free estimates in Gaussian space. The first is an optimal Meyer-type inequality for the Gaussian divergence: for $p\geq2$, \[ \|δV\|_{L^p(γ_d)} \leq \sqrt p\,|\mathbb E V| +Cp\,\|DV\|_{L^p(γ_d;\mathrm{HS}_d)}\, . \] Here $\mathrm{HS}_d$ is the space of $d\times d$ matrices with its Hilbert-Schmidt norm. Its main ingredient is a dimension-free weak-type $(1,1)$ bound for the second-order transform $D^2\mathcal N^{-1}$, where $\mathcal N := -Δ+x\cdot D$ is the Ornstein-Uhlenbeck operator. We also include a direct change-of-variables proof of the weaker bounded derivative divergence inequality in the appendix. The second result is a Gaussian Bernstein-Markov inequality. If $P$ is a polynomial, $p\geq2$, and $m_p := (\mathbb E|g|^p)^{1/p}$ for a standard Gaussian $g$, then \[ \|DP\|_{L^p(γ_d;\mathbb R^d)} \leq\frac{2\sqrt{2e\, \mathrm{deg}(P)}}{m_p}\,\|P\|_{L^p(γ_d)}\, . \] The factor $2$ is unnecessary when $p$ is even, or $P$ is even or odd. Thus, the constant is of order $\sqrt{\mathrm{deg}(P)/p}$ throughout the range $p\geq2$.

发表机构

• Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
• Yale University（耶鲁大学）
• Duke University（杜克大学）

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