发表机构
University of Lille; Max Planck Institute for Mathematics; International Centre for Theoretical Physics（里尔大学; 马克斯·普朗克数学研究所; 国际理论物理中心）
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本文针对偶数维闭定向流形的对称积，通过研究同调对偶类，给出了其 $L$-类生成函数的简洁公式，并简化了上同调 $L$-类的证明与表达。
AI 中文摘要
若 $M$ 是偶数维的闭定向流形，则对任意 $n \geq 0$，其 $n$ 次对称积 $M(n)=M^n/S_n$ 是有理同调流形，因此在 $H^*(M(n);\mathbb{Q})$ 中具有典范定义的 $L$-类。多年前，第二作者的论文中给出了这些类的复杂公式。我们通过研究同调中的对偶类获得了更简单的结果，表明（在将每个 $H_*(M(n); \mathbb{Q})$ 嵌入到 Hopf 代数 $H_*(M(\infty); \mathbb{Q})$ 之后）它们的生成函数是仅依赖于 $M$ 的欧拉示性数的初等因子与由 $M$ 的 $L$-类的庞加莱对偶的奇数 Adams 扭转组成的级数的指数之积。我们还利用这一点，获得了比先前更简单的上同调 $L$-类的证明和表达式。
英文摘要
If $M$ is a closed oriented manifold of even dimension, then its $n$th symmetric product $M(n)=M^n/S_n$ is a rational homology manifold for any $n \geq 0$ and hence has a canonically defined $L$-class in $H^*(M(n);\mathbb{Q})$. A complicated formula for these classes was given many years ago in the second author's thesis. We obtain a simpler result by studying the dual classes in homology, showing that their generating function (after embedding each $H_*(M(n); \mathbb{Q})$ into the Hopf algebra $H_*(M(\infty); \mathbb{Q})$) is the product of an elementary factor depending only on the Euler characteristic of $M$ and the exponential of a series consisting of odd Adams twists of the Poincaré dual of the $L$-class of $M$. We also use this to obtain both a simpler proof and a simpler expression for the cohomological $L$-classes than the previous one.
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