交换代数是进化代数的理想
Commutative algebras are ideals of evolution algebras
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- Universidade de Santiago de Compostela（圣地亚哥-德孔波斯特拉大学）
- Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
- Universidad de Málaga（马拉加大学）
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中文总结 AI 辅助
本文证明有限维交换代数可嵌入为有限维进化代数的理想，并确定最小嵌入维数，将其与平方映射的Waring秩关联，应用于截断多项式代数，并研究保持自同构和乘法基的嵌入。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了每个有限维交换代数都可以嵌入为有限维进化代数的理想。然后我们确定了允许这种嵌入的进化代数的最小可能维数，并研究了由该构造保持的一些结构性质。在特征不同于二的域上，我们将此最小维数与二次映射 $x\mapsto x^2$ 的同时Waring分解联系起来。特别地，对于含单位交换代数，包含给定代数的进化代数的最小可能维数与其平方映射的Waring秩一致。作为应用，我们确定了截断多项式代数 $\mathbb{F}[t]/(t^n)$ 的这个最小维数。最后，我们研究了保持额外结构（包括自同构和乘法基）的嵌入。
英文摘要
We prove that every finite-dimensional commutative algebra can be embedded as an ideal of a finite-dimensional evolution algebra. We then determine the smallest possible dimension of an evolution algebra admitting such an embedding and study some structural properties preserved by the construction. Over fields of characteristic different from two, we relate this minimal dimension to simultaneous Waring decompositions of the quadratic map $x\mapsto x^2$. In particular, for unital commutative algebras, the smallest possible dimension of an evolution algebra containing the given algebra coincides with the Waring rank of its squaring map. As an application, we determine this minimal dimension for the truncated polynomial algebras $\mathbb{F}[t]/(t^n)$. Finally, we study embeddings for which additional structure is preserved, including automorphisms and multiplicative bases.
