严格凸函数和双曲函数的水平集估计

中文摘要 AI 辅助

本文证明了定义在凸域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n\ge 2$）上的严格凸函数和双曲函数 $f$ 的水平集 $\{x\in\Omega: c\le f(x)<c+\delta\}$（其中 $c\in\mathbb R,\\;\delta>0$）的体积的一致上界。特别地，在 Hessian 下界 $D^2f\ge I_n$ 的条件下，我们得到了尖锐的体积界 $|S^{n-1}|\\, r(\Omega)^{n-2}\\,\delta$，其中 $r(\Omega)=\frac12\\,{\mathrm{diam}\Omega}$。作为应用，我们推导了具有凸相位的振荡积分的 $L^2$ 估计。

英文摘要

In this note, we prove uniform upper bounds for the volume of the level set $$\{x\inΩ: c\le f(x)<c+δ\},\quad c\in\mathbb R,\;δ>0,$$ for strictly convex and hyperbolic functions $f$ defined on a convex domain $Ω\subset\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$). In particular, under a Hessian lower bound $D^2f\ge I_n$, we obtain the sharp volume bound $$|S^{n-1}|\, r(Ω)^{n-2}\,δ,$$ where $r(Ω)=\frac12\,{\mathrm{diam}Ω}$. As an application, we derive $L^2$ estimates for oscillatory integrals with convex phases.

发表机构

• Department of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学系）
• Department of Mathematics Southern University of Science and Technology（南方科技大学数学系）

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