最大平均度约束下重着色图的直径
The diameter of recoloring graphs under a maximum average degree bound
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文在最大平均度约束下，将重着色图直径的上界从 $O(n(\log n)^{d-1})$ 改进为 $O(n(\log n)^{\lfloor(d-1)/(k-d)\rfloor})$，并确定森林情形的最佳线性系数。
中文摘要 AI 辅助
对于图 $G$，我们用 $\mathrm{mad}(G)$ 表示其最大平均度，用 $\mathrm{diam} G$ 表示其直径。设 $R_k(G)$ 为以 $G$ 的 $k$ 着色（即用 $k$ 种颜色对 $G$ 进行正常着色）为顶点的图，其中两个着色相邻当且仅当它们仅在一个顶点上不同。Feghali (JCTB, 2021) 证明了：对于固定整数 $d,k\ge 1$ 且 $k\ge d+1$，以及任意 $\varepsilon>0$，每个满足 $\mathrm{mad}(G)\le d-\varepsilon$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 都有 $\mathrm{diam} R_k(G)=O_{d,k,\varepsilon}(n(\log n)^{d-1})$。在本文中，我们证明 \\[ \mathrm{diam} R_k(G)=O_{d,k,\varepsilon}\left( n(\log n)^{\left\lfloor (d-1)/(k-d)\right\rfloor} \right), \\] 这直接推广了 Feghali 的结果。证明使用划分为独立层的方法，并在每个递归阶段移除 $k-d$ 种颜色。我们还改进了层数的界，并在森林情形下确定了最佳可能的线性系数。更精确地，对于 $0<\varepsilon<2$，每个满足 $\mathrm{mad}(G)\le2-\varepsilon$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 都有 $\mathrm{diam} R_3(G)\le\rho_M n$，其中 $M=\lfloor2/\varepsilon\rfloor$，$\rho_M=\max_{1\le m\le M}D_m/m$，而 $D_m$ 是所有 $m$ 个顶点的树 $T$ 上 $R_3(T)$ 的最大直径。此外，系数 $\rho_M$ 是最佳可能的。
英文摘要
For a graph $G$, we write $\mathrm{mad}(G)$ for its maximum average degree and $\mathrm{diam} G$ for its diameter. Let $R_k(G)$ be the graph whose vertices are the proper colorings of $G$ with $k$ colors, where two colorings are adjacent when they differ at one vertex. Feghali (JCTB, 2021) proved that, for fixed integers $d,k\ge 1$ with $k\ge d+1$ and every $\varepsilon>0$, every $n$-vertex graph $G$ satisfying $\mathrm{mad}(G)\le d-\varepsilon$ has $\mathrm{diam} R_k(G)=O_{d,k,\varepsilon}(n(\log n)^{d-1})$. In this article, we prove that \[ \mathrm{diam} R_k(G)=O_{d,k,\varepsilon}\!\left( n(\log n)^{\left\lfloor (d-1)/(k-d)\right\rfloor} \right), \] which extends the result proved by Feghali directly. The proof uses a partition into independent layers and removes $k-d$ colors at each recursive stage. We also improve the bound on the number of layers and determine the best possible linear coefficient in the forest case. More precisely, for $0<\varepsilon<2$, every $n$-vertex graph $G$ with $\mathrm{mad}(G)\le2-\varepsilon$ satisfies $\mathrm{diam} R_3(G)\leρ_M n$, where $M=\lfloor2/\varepsilon\rfloor$, $ρ_M=\max_{1\le m\le M}D_m/m$, and $D_m$ is the largest diameter of $R_3(T)$ over all trees $T$ on $m$ vertices. Moreover, the coefficient $ρ_M$ is best possible.
发表机构
- Nanjing University（南京大学）
- Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
