关于签名 $(r,r,p)$ 的费马型方程
On Fermat-type equations of signature $(r,r,p)$
- Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)（数学科学研究所）
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中文总结 AI 辅助
本文证明对无穷多个整数 C，费马型方程 x^r+y^r=Cz^p 在足够大的素数指数 p 下无非平凡本原解，方法结合多个 Frey 曲线、迹分离与水平降低。
中文摘要 AI 辅助
设 $r\geq11$ 为素数。我们证明存在无穷多个整数 $C$，使得对于所有足够大的（以 $r$ 和 $C$ 表示）素数指数 $p$，费马型方程 $x^r+y^r=Cz^p$ 无非平凡本原解。证明使用多个 Frey 曲线在 $3$ 以上的素数处强制 Frobenius 迹相等；一个新的迹分离论证表明这些相等性蕴含 $3\mid x+y$，之后进一步的 Frey 曲线和水平降低与 Ramanujan 界矛盾。
英文摘要
Let $r\geq11$ be a prime. We show that there are infinitely many integers $C$ for which the Fermat-type equation $$ x^r+y^r=Cz^p $$ has no non-trivial primitive solutions for all sufficiently large (in terms of $r$ and~$C$) prime exponents~$p$. The proof uses several Frey curves to force simultaneous Frobenius trace equalities at the primes above~$3$; a new trace separation argument shows that these equalities imply $3\mid x+y$, after which a further Frey curve and level lowering give a contradiction with the Ramanujan bound.
