发表机构
Faculté des Sciences et Techniques, Université Marien Ngouabi（马里恩·恩瓜比大学科学技术学院）
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本文研究辛Lie--Rinehart--Jacobi代数中典范1-形式的严格提升问题，证明严格对称与Jacobi Lie代数同构，给出局部Hamilton元素提升的障碍类，并建立共形平凡性判据，在闭曲面上得到非平凡结构。
AI 中文摘要
设 $(\G,\rho,\omega)$ 是交换代数 $A$ 上的辛 Lie--Rinehart--Jacobi 代数，等价于一个 Lie--Rinehart 代数 $(\G,\bar\rho)$ 配备一个 $1$-上循环 $\chi$ 和一个关于扭曲微分 $d_\rho=d_{\bar\rho}+\chi\wedge$ 闭的非退化 $2$-形式。从由 $2$-上循环 $\omega$ 给出的标准扩张出发，我们在 LRJ 框架下研究其典范 $1$-形式 $\eta$ 的严格提升问题。我们证明 $\eta$ 的严格对称恰好是元素 $X_f+fe$，并且映射 $f\mapsto X_f+fe$ 将 Jacobi Lie 代数 $(A,\{\\,,\})$ 与这个严格对称 Lie 代数等同。对于局部 Hamilton 元素，严格提升的障碍是类 $[i_x\omega]\in H^1_\rho(\G,A)$，从而得到正合序列 $0\to\ham\to\hamloc\to H^1_\rho(\G,A)\to0$。我们还把 Okassa 的辛旋度与 $d\eta$ 的变化联系起来，并建立了一个共形平凡性判据。在光滑情形下，该框架退化为局部共形辛几何，并且在亏格 $g\geq2$ 的闭曲面上，我们得到非共形平凡的结构，其障碍空间维数为 $2g-2$。
英文摘要
Let $(\G,ρ,ω)$ be a symplectic Lie--Rinehart--Jacobi algebra over a commutative algebra $A$, equivalently a Lie--Rinehart algebra $(\G,\barρ)$ endowed with a $1$-cocycle $χ$ and a nondegenerate $2$-form closed for the twisted differential $d_ρ=d_{\barρ}+χ\wedge$. Starting from the standard extension by the $2$-cocycle $ω$, we study the strict lifting problem for its canonical $1$-form $η$ in the LRJ setting. We prove that the strict symmetries of $η$ are precisely the elements $X_f+fe$ and that $f\mapsto X_f+fe$ identifies the Jacobi Lie algebra $(A,\{\,,\})$ with this Lie algebra of strict symmetries. For locally Hamiltonian elements, the obstruction to a strict lift is the class $[i_xω]\in H^1_ρ(\G,A)$, yielding the exact sequence $0\to\ham\to\hamloc\to H^1_ρ(\G,A)\to0$. We also relate Okassa's symplectic curl to the variation of $dη$ and establish a conformal triviality criterion. In the smooth case the framework reduces to locally conformally symplectic geometry, and on a closed surface of genus $g\geq2$ we obtain structures that are not conformally trivial and whose obstruction space has dimension $2g-2$.
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