第一类完全椭圆积分的端点绝对单调性
Endpoint Absolute Monotonicity for the Complete Elliptic Integral of the First Kind
- Central China Normal University（华中师范大学）
- Washington State University（华盛顿州立大学）
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AI总结：
本文证明了Tian和Yang关于第一类完全椭圆积分在端点处绝对单调性的两个猜想，通过系数符号分析给出了完整证明。
AI中文摘要：
设 \begin{equation*} f_p(x)=\frac{\mathcal{K}(\sqrt{x})}{p-\ln\sqrt{1-x}}, \end{equation*} 其中 $\mathcal{K}$ 表示第一类完全椭圆积分，并令 $g_p=1/f_p$。Tian 和 Yang 猜想，在 $p=\ln4$ 时，$-f_{\ln4}^{\prime\prime\prime}$ 和 $g_{\ln4}$ 在 $(0,1)$ 上都是绝对单调的。将 \begin{equation*} \frac{2}{\pi}f_{\ln4}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\ln4)x^n,\quad \frac{\pi}{2}g_{\ln4}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(\ln4)x^n, \end{equation*} 我们证明 \begin{equation*} a_n(\ln4)<0\quad(n\geq3),\quad b_n(\ln4)>0\quad(n\geq0), \end{equation*} 从而解决了这两个猜想。第一个不等式的证明基于表示 \begin{equation*} a_n(\ln4)=\frac{(-1)^nC}{15^{n+1}}-M_n, \end{equation*} 其中 $C>0$ 且 $(M_n)$ 是一个正矩序列。其严格对数凸性，连同对初始系数的估计，决定了每个 $a_n$ 的符号。第二个不等式由归一化泰勒级数的二次截断的因式分解和倒数级数论证得出。
英文摘要：
Let \begin{equation*} f_p(x)=\frac{\mathcal{K}(\sqrt{x})}{p-\ln\sqrt{1-x}}, \end{equation*} where $\mathcal{K}$ denotes the complete elliptic integral of the first kind, and set $g_p=1/f_p$. Tian and Yang conjectured that, at $p=\ln4$, both $-f_{\ln4}^{\prime\prime\prime}$ and $g_{\ln4}$ are absolutely monotonic on $(0,1)$. Writing \begin{equation*} \frac{2}πf_{\ln4}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(\ln4)x^n,\quad \fracπ{2}g_{\ln4}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n(\ln4)x^n, \end{equation*} we prove \begin{equation*} a_n(\ln4)<0\quad(n\geq3),\quad b_n(\ln4)>0\quad(n\geq0), \end{equation*} thereby settling both conjectures. The proof of the first inequality is based on the representation \begin{equation*} a_n(\ln4)=\frac{(-1)^nC}{15^{n+1}}-M_n, \end{equation*} where $C>0$ and $(M_n)$ is a positive moment sequence. Its strict log-convexity, together with estimates for the initial coefficients, determines the sign of every $a_n$. The second inequality follows from a factorization of the quadratic truncation of the normalized Taylor series and a reciprocal-series argument.
