双曲空间中曲面的等变等距浸入
Equivariant isometric immersions of surfaces in hyperbolic space
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中文总结 AI 辅助
本文证明亏格≥2的闭曲面上，给定度量与无穷远共形结构，存在唯一的等变等距浸入双曲空间，并给出对偶形式与双曲末端嵌入的唯一性，推广了嫁接映射与圆模式的光滑情形。
中文摘要 AI 辅助
设 $S$ 为亏格至少为 2 的闭定向曲面，$h$ 为 $S$ 上曲率 $K\in (-1,0]$ 的光滑黎曼度量，$c\in \cT_S$ 为 $S$ 上的共形结构。则存在唯一的等变等距浸入 $(S,h)\to \HH^3$，使得双曲高斯映射拉回的无穷远共形结构恰为 $c$。对偶地，若 $h^*$ 为 $S$ 上曲率 $K^*\in (-\infty, 0)$ 的光滑度量，且 $c\in \cT_S$，则存在唯一的等变浸入 $S\to \HH^3$，其第三基本形式为 $h^*$，且高斯映射拉回的无穷远共形类恰为 $c$。等价地，给定 $h$ 与 $c\in \cT_S$，存在唯一的配对 $(E,u)$，其中 $E$ 为无穷远共形结构为 $c$ 的双曲末端，$u$ 为 $(S,h)$ 在 $E$ 中的等距嵌入。给定 $h^*$ 与 $c$，存在唯一的配对 $(E,u^*)$，其中 $E$ 为无穷远共形结构为 $c$ 的双曲末端，且 $u^*:S\to E$ 为诱导第三基本形式 $h^*$ 的嵌入。这些结论可视为关于嫁接映射与圆模式已知或猜想性结论的光滑版本。
英文摘要
Let $S$ be a closed, oriented surface of genus at least $2$, let $h$ be a smooth Riemannian metric on $S$ with curvature $K\in (-1,0]$, and let $c\in \cT_S$ be a conformal structure on $S$. There exists a unique equivariant isometric immersion of $(S,h)$ in $\HH^3$ such that the pull-back by the hyperbolic Gauss map of the conformal structure at infinity is $c$. Dually, if $h^*$ is a smooth metric on $S$ with curvature $K^*\in (-\infty, 0)$ and if $c\in \cT_S$, there exists a unique equivariant immersion of $S$ into $\HH^3$ with third fundamental form $h^*$ and such that the pull-back of the conformal class at infinity by the Gauss map is $c$. Equivalently, given $h$ and $c\in \cT_S$, there is a unique pair $(E,u)$ where $E$ is a hyperbolic end with conformal structure at infinity $c$ and $u$ is an isometric embedding of $(S,h)$ in $E$. Given $h^*$ and $c$, there exists a unique pair $(E,u^*)$, where $E$ is a hyperbolic end with conformal structure at infinity $c$, and $u^*:S\to E$ is an embedding inducing the third fundamental form $h^*$. Those statements can be considered as a smooth counterpart of known or conjectural statements on the grafting map and on circle patterns.
发表机构
- University of Luxembourg（卢森堡大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
