通过到 $\mathbb{R}_{>0}$ 的同态检测唯一可除 $\mathfrak{N}$-半群中的可除性
Detecting divisibility in uniquely divisible $\mathfrak{N}$-semigroups via homomorphisms to $\mathbb{R}_{>0}$
- tp.edu.sg（TP学院）
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AI总结：
研究唯一可除的N-半群中可除性的检测问题，证明其可通过到正实数加法半群的同态来检测，主要利用Q上向量空间的超平面分离定理，并指出该结果不能推广到更大类半群。
AI中文摘要：
$\mathfrak{N}$-半群是阿基米德的、无幂等元的、可消的且交换的半群。例如，严格正实数的加法半群 $\mathbb{R}_{>0}$ 就是一个 $\mathfrak{N}$-半群。Hewitt-Zuckerman 证明了每个 $\mathfrak{N}$-半群都承认一个到 $\mathbb{R}_{>0}$ 的半群同态。我们证明每个唯一可除的 $\mathfrak{N}$-半群 $S$ 承认足够多的到 $\mathbb{R}_{>0}$ 的半群同态，以检测 $S$ 中的可除性。主要成分是 Eidelheit 和 Kakutani 超平面分离定理在 $\mathbb{Q}$ 上的向量空间中的一个版本。Ravsky 的一个反例解释了为什么这个结果不能推广到更大的 $\mathfrak{N}$-半群类。
英文摘要：
An $\mathfrak{N}$-semigroup is an archimedean, idempotent-free, cancellative and commutative semigroup. For example, the additive semigroup $\mathbb{R}_{>0}$ of strictly positive real numbers is a $\mathfrak{N}$-semigroup. Hewitt-Zuckerman showed that every $\mathfrak{N}$-semigroup admits a semigroup homomorphism to $\mathbb{R}_{>0}$. We show that every uniquely divisible $\mathfrak{N}$-semigroup $S$ admits enough semigroup homomorphisms to $\mathbb{R}_{>0}$ to detect divisibility in $S$. %They were studied by Tamura and Kobayashi. The main ingredient is a version of the Eidelheit and Kakutani hyperplane separation theorem for vector spaces over $\mathbb{Q}$. A counterexample due to Ravsky explains why this result does not generalise to the larger class of $\mathfrak{N}$-semigroups.
