Conductors 与二次基变换

中文摘要 AI 辅助

设 $F$ 为全实域，$K/F$ 为全实二次扩张。对于 $F$ 上的 Hilbert 尖点新形式 $f$，其到 $K$ 的基变换为 $f_K$，我们仅利用局部表示理论，根据 $f$ 的 level 确定 $f_K$ 的精确 level：对 $F$ 的每个位 $\mathfrak p$，我们计算 $f$ 的局部分量的 conductor 在二次基变换下如何变化。驯致情形（剩余特征为奇数）可由现有基变换理论得出，但 $p=2$ 的情形需要更精细的 $\varepsilon$-因子分析，这在文献中尚未出现。我们给出了二进不可约表示的完整处理，并更细致地处理了例外超尖表示，此前对这些表示没有闭式基变换公式；特别地，我们根据局部根数确定了 $GL(2,\mathbb Q_2)$ 上所有具有平凡中心特征且 conductor 为 $3$ 的例外超尖表示的基变换。这给出了 $f_K$ 的 level 的显式公式，此处特化为 $F=\mathbb Q$，并附带一个部分逆命题。

英文摘要

Let $F$ be a totally real field and $K/F$ a totally real quadratic extension. For a Hilbert cusp newform $f$ over $F$ with base change $f_K$ to $K,$ we determine the exact level of $f_K$ in terms of the level of $f,$ using only local representation theory: for each place $\mathfrak p$ of $F$ we compute how the conductor of the local component of $f$ changes under quadratic base change. The tame case (odd residue characteristic) follows from existing base change theory, but the case $p=2$ requires a finer $\varepsilon$-factor analysis that does not appear in the literature. We give a complete treatment of the dyadic imprimitive representations and, more delicately, the exceptional supercuspidal representations, for which no closed-form base change formula was previously known; in particular we determine, in terms of local root numbers, the base change of every exceptional supercuspidal representation of $GL(2,\mathbb Q_2)$ with trivial central character and conductor $3.$ This yields an explicit formula for the level of $f_K,$ specialized here to $F=\mathbb Q,$ along with a partial converse.

发表机构

• University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）

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