发表机构
School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China; CAS Wu Wen-Tsun Key Laboratory of Mathematics, University of Science and Technology of China; School of Mathematical Sciences, Luoyang Normal University（中国科学技术大学数学科学学院; 中国科学院吴文俊数学重点实验室，中国科学技术大学; 洛阳师范学院数学科学学院）
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本文证明仿射特殊Kähler度量若具有多项式面积增长，则其全纯三次微分在穿孔处为亚纯，且极点阶数受面积增长阶数严格约束，并给出证明方法及边界情形讨论。
AI 中文摘要
设 $g=w|dz|^2$ 为穿孔圆盘上的仿射特殊Kähler度量，并设 $\Xi=q(z)\\,dz^3$ 为其相关的全纯三次微分。我们证明，如果同心穿孔邻域的 $g$-面积至多以多项式速度增长，则 $q$ 在穿孔处是亚纯的。更精确地，阶为 $\eps^{-N}$ 的面积界迫使 $q$ 的每个极点阶数严格小于 $N+3$。因此，三次微分的本性奇点排除了任何多项式面积上界。证明将 $(g,\Xi)$ 关联到一个曲率为 $-1$ 的共形伪度量，并应用 Ahlfors--Schwarz 引理，随后对全纯函数使用次均值不等式。我们还讨论了恒为零的三次微分以及导致严格极点阶数界的临界对数增长。
英文摘要
Let $g=w|dz|^2$ be an affine special Kähler metric on a punctured disc and let $Ξ=q(z)\,dz^3$ be its associated holomorphic cubic differential. We prove that if the $g$-area of concentric punctured neighbourhoods grows at most polynomially, then $q$ is meromorphic at the puncture. More precisely, an area bound of order $\eps^{-N}$ forces every pole of $q$ to have order strictly less than $N+3$. Hence an essential singularity of the cubic differential rules out every polynomial area upper bound. The proof associates to $(g,Ξ)$ a curvature $-1$ conformal pseudometric and applies the Ahlfors--Schwarz lemma, followed by the submean inequality for holomorphic functions. We also discuss the identically zero cubic differential and the borderline logarithmic growth responsible for the strict pole-order bound.
