发表机构
University of East Anglia; University of Twente（东英吉利大学; 特文特大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究函数域上椭圆曲线 Tamagawa 数与其挠子群的关系，证明了非各向同性情形下挠阶平方整除 Tamagawa 数（除四个例外族），并给出完整刻画与猜想。
AI 中文摘要
我们研究整体函数域 $ K $ 上椭圆曲线 $ E $ 的 Tamagawa 数 $ c(E) $ 的可除性，并将其与其挠子群 $ E(K)_{\operatorname{tors}} $ 联系起来。特别地，对于非各向同性椭圆曲线 $ E / k(t) $，其中 $ k $ 是特征大于 $ 3 $ 的有限域，我们证明 $ |E(k(t))_{\operatorname{tors}}|^2 $ 整除 $ c(E) $，除非可能属于四个例外挠族。更具体地，我们在每个挠族中给出了 $ c(E) $ 的可除性的完整刻画，并提供了具体例子以证明这些结果是不可改进的。在一般整体函数域上，我们还证明了 $ E / K $ 上素数阶 $ 5 \le N \le 101 $ 的有理点迫使 $ N^2 $ 整除 $ c(E) $，这为我们的结果提供了动机。最后，受 Birch--Swinnerton-Dyer 商的整性启发，我们提出了关于 $ E / K $ 的 $ L $ 函数首项系数的猜想。
英文摘要
We study the divisibilities of Tamagawa numbers $ c(E) $ of elliptic curves $ E $ over global function fields $ K $ in terms of their torsion subgroups $ E(K)_{\operatorname{tors}} $. In particular, for a non-isotrivial elliptic curve $ E / k(t) $, where $ k $ is a finite field of characteristic greater than $ 3 $, we prove that $ |E(k(t))_{\operatorname{tors}}|^2 $ divides $ c(E) $, except possibly in four exceptional torsion families. More specifically, we give a complete characterisation of divisibilities for $ c(E) $ in each torsion family, and provide explicit examples to prove that they are best possible. Over a general global function field, we also prove that a rational point of prime order $ 5 \le N \le 101 $ on $ E / K $ forces $ N^2 $ to divide $ c(E) $, which motivates our result. Finally, we formulate a conjecture on the leading coefficient of the $ L $-function of $ E / K $, motivated by the integrality of Birch--Swinnerton-Dyer quotients.
Comments42 pages
