发表机构
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
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本文研究二阶时滞方程 x''(t)=x(τ(t)) 的振荡性，通过构造连续严格递减函数 β 给出精确界限 b≤β(a)，该界限在经典 limsup 与 liminf 阈值间插值，并借助谱分析联系一阶时滞方程振荡理论。
AI 中文摘要
我们研究二阶时滞方程 \\[ x''(t)=x(\tau(t)), \\] 的振荡性，其中非减时滞参数 $\tau(t)\le t$ 满足 $\tau(t)\overset{t\to\infty}{\to}\infty$。设 \begin{equation*} a=\liminf_{t\to\infty}(t-\tau(t)),\qquad b=\limsup_{t\to\infty}(t-\tau(t)). \end{equation*} 我们描述一个连续严格递减函数 \begin{equation} \beta:[0,2/e]\longrightarrow[2/e,\sqrt2],\qquad \beta(0)=\sqrt2,\qquad\beta(2/e)=2/e, \notag \end{equation} 使得若方程存在最终正递减解，则 \begin{equation} a\leq2/e,\qquad b\le\beta(a). \notag \end{equation} 界限 $b\le\beta(a)$ 是精确的，并在经典的 $\limsup$ 阈值与 $\liminf$ 自治阈值之间进行插值。详细的谱分析给出了结果的简单解释，并将其直接与一阶时滞方程的振荡理论联系起来。
英文摘要
We study oscillation of the second-order delay equation \[ x''(t)=x(τ(t)), \] with a nondecreasing delayed argument $τ(t)\le t$ satisfying $τ(t)\overset{t\to\infty}{\to}\infty$. Set \begin{equation*} a=\liminf_{t\to\infty}(t-τ(t)),\qquad b=\limsup_{t\to\infty}(t-τ(t)). \end{equation*} We describe a continuous strictly decreasing function \begin{equation} β:[0,2/e]\longrightarrow[2/e,\sqrt2],\qquad β(0)=\sqrt2,\qquadβ(2/e)=2/e, \notag \end{equation} such that, if the equation has an eventually positive decreasing solution, then \begin{equation} a\leq2/e,\qquad b\leβ(a). \notag \end{equation} The bound $b\leβ(a)$ is sharp and interpolates between the classical $\limsup$ threshold and the $\liminf$ autonomous threshold. A detailed spectral analysis gives a simple interpretation of the result and links it directly to the oscillation theory of first-order delay equations.
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