AI 中文总结
本文研究扭变互反多项式的伽罗瓦群，证明 van der Waerden--Bhargava 型渐近定理，给出非完全超八面体群计数公式，并确定首项常数对 $b$ 的依赖。
AI 中文摘要
我们研究满足扭变互反关系 $f(x) = x^{2n}/b^n \cdot f(b/x)$ 的 $2n$ 次多项式族中随机多项式 $f$ 的伽罗瓦群 $G_f$。我们使用适应于此关系的欧几里得高度。我们的主要结果是 van der Waerden--Bhargava 型渐近定理：对于固定的 $b \neq 0$ 和 $n \geq 4$，高度至多为 $H$ 且其伽罗瓦群不是完全超八面体群 $S_2 \wr S_n$ 的多项式数量为显式常数乘以 $H^n\log H$，误差阶为 $H^n$。我们确定了该首项常数对 $b$ 的依赖关系；首阶群 $G_1$ 的指数为 $2$。本文是 Anderson、Bertelli 和作者近期关于互反多项式（即 $b = 1$ 情形）论文的续篇。
英文摘要
We study the Galois group $G_f$ of a random polynomial $f$ in the family of polynomials of degree $2n$ satisfying the twisted reciprocal relation $f(x) = x^{2n}/b^n \cdot f(b/x)$. We use a Euclidean height adapted to this relation. Our main result is an asymptotic theorem of van der Waerden--Bhargava type: for fixed $b \neq 0$ and $n \geq 4$, the number of polynomials of height at most $H$ whose Galois group is not the full hyperoctahedral group $S_2 \wr S_n$ is an explicit constant times $H^n\log H$, with an error of order $H^n$. We determine the dependence of the leading constant on $b$; the leading-order group $G_1$ is of index $2$. This paper is a sequel to a recent paper by Anderson, Bertelli, and the author addressing reciprocal polynomials (i.e. the case $b = 1$).
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