到达时间方程的一般正则性障碍
General regularity obstructions for the arrival time equation
- MIT（麻省理工学院）
- USTC（中国科学技术大学）
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AI总结：
我们研究平均曲率流到达时间函数的正则性，发现球对称奇点附近的高阶渐近展开系统性阻碍了更高正则性，并在所有维度构造了不可数多个低正则性函数，证明平面凸曲线缩短流的到达时间不必为$C^{25}$，从而确定了最优正则性阈值。
AI中文摘要：
我们研究了与平均曲率流相关的到达时间函数的正则性，该函数被表述为一个编码流奇异结构的退化椭圆方程。我们识别出一种系统性的机制，该机制阻碍了更高正则性，这种机制源于球对称奇点附近的高阶渐近展开。我们在所有维度上构造了不可数多个低正则性的到达时间函数。特别地，我们通过证明即使对于凸曲线缩短流，到达时间也不必是$C^{25}$，解决了平面情形下的光滑性问题。我们的配套论文证明了每一个这样的到达时间对于任意$0<\alpha<1$都是$C^{24,\alpha}$的。因此，在25阶处的障碍给出了最优正则性阈值。我们的方法引入了新的分析工具，包括椭圆渐近展开与相关重标度平均曲率流的抛物型长时间渐近之间的精确对应关系、到达时间方程的复化，以及一种规定高阶渐近展开的方法。
英文摘要：
We study the regularity of the arrival time function associated with mean curvature flow, formulated as a degenerate elliptic equation encoding the singular structure of the flow. We identify a systematic mechanism obstructing higher regularity, arising from higher-order asymptotic expansions near spherical singularities. We construct uncountably many low-regularity arrival time functions in all dimensions. In particular, we settle the question of smoothness in the planar case by showing that even for convex curve shortening flow the arrival time need not be $C^{25}$. Our companion paper proves that every such arrival time is $C^{24,α}$ for any $0<α<1$. Hence the obstruction at order $25$ gives the optimal regularity threshold. Our approach introduces new analytic ingredients, including a precise correspondence between elliptic asymptotic expansions and parabolic long-time asymptotics of the associated rescaled mean curvature flow, a complexification of the arrival time equation, and a method for prescribing higher-order asymptotic expansions.
