AI 中文总结
本文证明在特征零域上，若幂级数的首项系数生成自由交换半群，则这些幂级数在复合下生成自由半群，并利用仿射变换和乒乓引理，结合已有工作得出数域上大多数多项式半群是自由的。
AI 中文摘要
给定特征为零的域 $K$ 上的幂级数 $f_1,\dots,f_r\in z^2K[[z]]$，我们证明由这些 $f$ 在复合运算下生成的半群 $\langle f_1,\dots,f_r\rangle$ 是秩为 $r$ 的自由半群，当且仅当 $K^\times$ 中由 $\mathrm{lc}(f_1),\dots,\mathrm{lc}(f_r)$ 生成的乘法半群 $\langle\mathrm{lc}(f_1),\dots,\mathrm{lc}(f_r)\rangle$ 是秩为 $r$ 的自由交换半群；这里 $\mathrm{lc}(f)$ 表示 $f$ 的第一个非零系数。为此，我们将一个仿射线性变换关联到每个 $F\in\langle f_1,\dots,f_r\rangle$，然后应用乒乓引理。特别地，结合 Pappalardi、Sha、Shparlinski 和 Stewart 的工作，可以得出数域 $K$ 上的大多数多项式半群是自由的，并且我们通过计数论证使这一陈述精确化。
英文摘要
Given power series $f_1,\dots,f_r\in z^2K[[z]]$ over a field $K$, we show that the semigroup $\langle f_1,\dots,f_r\rangle$ generated by the $f$'s under composition is free of rank $r$ whenever the multiplicative semigroup $\langle\mathrm{lc}(f_1),\dots,\mathrm{lc}(f_r)\rangle$ in $K^\times$ is free commutative of rank $r$; here $\mathrm{lc}(f)$ denotes the first nonzero coefficient of $f$. To do this, we associate an affine linear transformation to every $F\in\langle f_1,\dots,f_r\rangle$ and then apply a ping-pong lemma. In particular, combining this with work of Pappalardi, Sha, Shparlinski, and Stewart, it follows that most semigroups of polynomials over a number field $K$ are free, and we make this statement precise through a counting argument.
