关于平衡数四次幂的无穷倒数和
On the infinite sum of reciprocals of the fourth powers of balancing numbers
- VIT-AP University（维特-阿普拉大学）
- KIIT Deemed to be University（KIIT认可大学）
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AI总结：
本文研究了平衡数四次幂的无穷倒数和，给出了其倒数取整的精确公式，并将斐波那契数的相关结果推广到平衡数。
AI中文摘要：
本文研究了涉及平衡数$B_n$四次幂的无穷倒数和$\u2211_{k=n}^{\u221e}1/B_k^4$。我们证明，对于每个$n\u22652$，有\u230a(\u2211_{k=n}^{\u221e}1/B_k^4)^{-1}\u230b = B_n^4-B_{n-1}^4 -\u2308B_{2n-1}/280\u2309 +\u03b5_n，其中当$n\u22611\pmod{12}$时$\u03b5_n=1$，否则$\u03b5_n=0$。该结果将Hwang、Park和Song关于斐波那契数的相应倒数结果推广到了平衡数。
英文摘要：
In this note, we study the infinite reciprocal sum $\sum_{k=n}^{\infty}1/B_k^4$ involving the fourth powers of balancing numbers $B_n$. We show that, for every $n\geq2$, \begin{equation*} \left\lfloor \left( \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{B_k^4} \right)^{-1} \right\rfloor = B_n^4-B_{n-1}^4 -\left\lceil\frac{B_{2n-1}}{280}\right\rceil +\varepsilon_n, \end{equation*} where $\varepsilon_n=1$ if $n\equiv1\pmod{12}$ and $\varepsilon_n=0$ otherwise. This result extends the corresponding reciprocal-sum result for Fibonacci numbers due to Hwang, Park and Song to balancing numbers.
