奇异积分交换子的尖锐加权弱型界
Sharp weighted weak-type bounds for commutators of singular integrals
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本文建立了Calderón--Zygmund算子与BMO符号交换子的尖锐加权弱型界，并证明了对数符号情形的最优指数依赖，方法涉及点态控制和奇异积分算子的一般结果。
中文摘要 AI 辅助
我们建立了Calderón--Zygmund算子与$\text{BMO}(\mathbb{R}^n)$符号关于$A_p$权重的交换子的尖锐弱型界。我们证明了对于$p \in (1,\infty)$和$w \in A_p$，界$$\\|[b,T]\\|_{L^p(w)\rightarrow L^{p,\infty}(w)}\lesssim [w]_{A_p}^{\max(2,p')}$$对于一般的$T \in \text{CZO}(\mathbb{R}^n)$和$b \in \text{BMO}(\mathbb{R}^n)$是尖锐的。对于标准对数符号的情形，我们证明了该估计改进为$$\\|\\[\log|\cdot|,T\\]\\|_{L^p(w)\rightarrow L^{p,\infty}(w)}\lesssim [w]_{A_p}^{\max\big(2,\frac{1}{p}+\frac{p'}{p}\big)}$$并且该依赖关系对此符号是最优的。我们对对数符号的上界源于交换子被Hardy--Littlewood极大算子、径向Hardy算子及其伴随的平方之和的点态控制，而下界则是奇异积分算子一般结果的结果。
英文摘要
We establish sharp weak-type bounds for commutators of Calderón--Zygmund operators and $\text{BMO}(\mathbb{R}^n)$ symbols with respect to $A_p$ weights. We prove that the bound \looseness=-1 $$ \|[b,T]\|_{L^p(w)\rightarrow L^{p,\infty}(w)}\lesssim [w]_{A_p}^{\max(2,p')} $$ for $p \in (1,\infty)$ and $w \in A_p$ is sharp for general $T \in \text{CZO}(\mathbb{R}^n)$ and $b \in \text{BMO}(\mathbb{R}^n)$. In the case of the standard logarithmic symbol, we show that the estimate improves to $$ \|[\log|\cdot|,T]\|_{L^p(w)\rightarrow L^{p,\infty}(w)}\lesssim [w]_{A_p}^{\max\big(2,\frac{1}{p}+\frac{p'}{p}\big)} $$ and that this dependence is optimal for this symbol. Our upper bound for the logarithmic symbol follows from the pointwise control of the commutator by a sum of the Hardy--Littlewood maximal operator and the squares of the radial Hardy operator and its adjoint, while our lower bounds are consequences of a general result for singular integral operators.
发表机构
- Bucknell University（巴克内尔大学）
- Clemson University（克莱姆森大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
