AI 中文总结
该文研究两个二次曲面交集中摇摆除子补集的基本群，证明摇摆轨迹为不可约除子，并利用根栈和Reidemeister-Schreier方法给出各维度的显式表示，且在低维情形得到最小生成元与关系数。
AI 中文摘要
两个二次曲面的光滑完全交 $X\subset\mathbb{P}^{n+2}_{\mathbb{C}}$ 可被解释为向量丛的模空间。当 $n=2$ 时，它参数化 $\mathbb{P}^1$ 上带五个标记点的稳定秩 $2$ 抛物丛；当 $n=3$ 时，它参数化亏格 $2$ 曲线上具有固定行列式的奇数次稳定秩 $2$ 丛。对于一般 $n$，它可被解释为半稳定扭曲 $\mathrm{Spin}$-丛的模空间。我们研究 $X\setminus W$，其中 $W$ 是摇摆轨迹，由允许非零幂零 Higgs 场的丛组成。我们证明对于 $n\geq 3$，$W$ 是不可约除子，并计算 $H_1(X\setminus W,\mathbb{Z})$。利用根栈描述，我们将 $\pi_1(X\setminus W)$ 与从轨道混合辫群到单值同态的核等同。随后，Reidemeister-Schreier 方法在每一维中给出显式表示。对于 $n=2$，此时 $X$ 是 $4$ 次 del Pezzo 曲面且 $W$ 是其十六条 $(-1)$-曲线的并集，我们得到具有 $10$ 个生成元和 $25$ 个关系的表示，并证明这两个数在所有有限表示中是最小的。对于 $n=3$，我们证明 $\pi_1(X\setminus W)$ 具有 $4$ 个生成元和 $78$ 个关系的表示。
英文摘要
A smooth complete intersection $X\subset\mathbb{P}^{n+2}_{\mathbb{C}}$ of two quadrics admits an interpretation as a moduli space of bundles. For $n=2$, it parametrizes stable rank $2$ parabolic bundles on $\mathbb{P}^1$ with five marked points, while for $n=3$ it parametrizes stable rank $2$ bundles of odd degree with fixed determinant on a genus $2$ curve. For general $n$, it can be interpreted as a moduli space of semistable twisted $\mathrm{Spin}$-bundles. We study $X\setminus W$, where $W$ is the wobbly locus, consisting of bundles that admit a nonzero nilpotent Higgs field. We prove that $W$ is an irreducible divisor for $n\geq 3$ and compute $H_1(X\setminus W,\mathbb{Z})$. Using a root-stack description, we identify $π_1(X\setminus W)$ with the kernel of a monodromy homomorphism from an orbifold mixed braid group. The Reidemeister-Schreier method then yields an explicit presentation in every dimension. For $n=2$, where $X$ is a degree $4$ del Pezzo surface and $W$ is the union of its sixteen $(-1)$-curves, we obtain a presentation with $10$ generators and $25$ relators and prove that both numbers are minimal among all finite presentations. For $n=3$, we show that $π_1(X\setminus W)$ admits a presentation with $4$ generators and $78$ relators.
