辫群在 $K_0(\mathbb{P}^n)$ 上例外基的作用的非传递性（$n=4,6$）
Nontransitivity of braid group actions on exceptional bases in $K_0(\mathbb{P}^n)$ for $n=4,6$
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中文总结 AI 辅助
本文针对 $n=4,6$ 的射影空间，构造了 $K_0$ 中例外基在突变与等距作用下的不变量，给出违反同余的显式基，证明作用非传递，并利用 Polishchuk 定理排除例外对象类，最终证明所有素数 $p$ 下 $D^b$ 范畴无正交例外对。
中文摘要 AI 辅助
设 $X=\mathbb{P}^n$，其中 $p=n+1$ 为素数。考虑 $K_0(X)$ 中标准数值例外基在突变、符号改变和欧拉形式的等距变换下的轨道。我们构造了该轨道的一个不变量：对于轨道中的每个基，所有基本向量的秩的平方模 $p$ 同余于 $1$。对于 $\mathbb{P}^4$ 和 $\mathbb{P}^6$，我们给出了违反该同余关系的显式数值例外基，因此作用不是传递的。我们还建立了模 $p^2$ 的更强障碍，并利用 Polishchuk 定理证明所构造基中没有任何向量是例外对象的类。最后，我们证明对于每个素数 $p$，范畴 $D^b(\operatorname{Coh}\mathbb{P}^{p-1}_{\mathbb C})$ 不包含一对相互正交的例外对象。
英文摘要
Let $X=\mathbb{P}^n$, where $p=n+1$ is prime. Consider the orbit of the standard numerical exceptional basis in $K_0(X)$ under mutations, sign changes, and isometries of the Euler form. We construct an invariant of this orbit: for every basis from the orbit, the square of rank of all basic vectors art congruent to $1$ modulo $p$. For $\mathbb{P}^4$ and $\mathbb{P}^6$, we present explicit numerical exceptional bases violating this congruence; hence the action is not transitive. We also establish a stronger obstruction modulo $p^2$ and use Polishchuk's theorem to show that no vector of the constructed bases is the class of an exceptional object. Finally, we prove that for every prime $p$, the category $D^b(\operatorname{Coh}\mathbb{P}^{p-1}_{\mathbb C})$ does not contain a pair of mutually orthogonal exceptional objects.
