发表机构
School of Mathematics and Statistics Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
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本文利用Nash-Moser迭代和Saloff-Coste不等式，在完备黎曼流形上对一类非线性抛物方程建立Hamilton梯度估计，并由此推导出常系数情形的Liouville定理。
AI 中文摘要
本文应用Nash-Moser迭代和Saloff-Coste的Sobolev不等式，在维数为$n$的完备黎曼流形$(M,g)$上，对形如$u_{t}=\Delta u^{m}+a(x, t)u\log u+b(x, t)u$（其中$1-\frac{2}{n}<m<1$或$1<m<1+\frac{1}{1+\sqrt{2n}}$，$a(x, t)$、$b(x, t)$为$C^{1}$函数）的一类非线性抛物方程的正解推导梯度估计。当$a=b=0$时，该方程在$m>1$时退化为多孔介质方程（PME），在$m<1$时退化为快速扩散方程（FDE）。作为推论，当$1-\frac{1}{\sqrt{n-1}}<m<1$且$1<m<1+\frac{1}{\sqrt{n-1}}$时，我们获得了相应常系数方程的Liouville型定理。
英文摘要
In this paper, we apply Nash-Moser iteration and Saloff-Coste's Sobolev inequalities to derive gradient estimates for positive solutions to a class of nonlinear parabolic equations of the form \begin{equation*} u_{t}=Δu^{m}+a(x, t)u\log u+b(x, t)u, \quad 1-\frac{2}{n}<m<1 \quad \text{or}\quad 1<m<1+\frac{1}{1+\sqrt{2n}}, \end{equation*} on a complete Riemannian manifold $(M,g)$ of dimension $n$, where $a(x, t)$, $b(x, t)$ are $C^{1}$ functions. For $a=b=0$, this equation becomes the porous medium equation (PME) or the fast diffusion equation (FDE) when $m>1$ or $m<1$, respectively. As consequences, we obtain Liouville type theorems for the corresponding constant coefficient equations when \begin{equation*} 1-\frac{1}{\sqrt{n-1}}<m<1\quad \text{and}\quad 1<m<1+\frac{1}{\sqrt{n-1}}. \end{equation*}
