一类圆形区间图的补图的边理想
Edge ideals of complements of a class of circular interval graphs
- National Institute of Technology Srinagar（斯里纳加尔国家技术学院）
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AI总结：
本文研究一类圆形区间图补图的边理想，证明其团复形诱导子复形的同伦二分性，给出Betti表线性链闭式公式，并证明相关环为Buchsbaum环及正则度公式。
AI中文摘要：
设 $C_n^m$ 为 $n$ 个顶点上的循环图的 $m$ 次幂，并设 $\Gnm$ 为其补图，其中 $m\ge1$ 且 $n\ge3m+1$。我们证明了 $C_n^m$ 的团复形的每个诱导子复形同伦等价于要么是不相交的连通复形的并，要么是圆，并且我们将这一二分法推广到更大的圆形区间图类。作为推论，我们得到了 $R/I(\Gnm)$ 的 Betti 表的线性链的闭式公式。我们还证明了 $R/I(\Gnm)$ 是深度为 $2$ 的 Buchsbaum 环，并且对于 $m\ge2$，$\Gnm$ 的独立复形是一个带边界的三角剖分 $m$-流形，即当 $m=2$ 时是 Möbius 带或环面。对于上述类中每个图 $H$ 的补图 $\overline H$，我们证明了对于所有 $k\ge2$，$\reg(I(\overline H)^k)=2k+\indm(\overline H)-1$，其中 $\indm$ 表示诱导匹配数。特别地，$I(\Gnm)$ 的某次幂具有线性分解当且仅当 $n\ge4m+1$。在此范围内，我们进一步证明了殖民理想 $(I^{k+1}:M)$ 的正则度为 $2$，其中 $I=I(\Gnm)$，$M$ 是 $I^k$ 的一个最小单项式生成元。
英文摘要：
Let $C_n^m$ be the $m$-th power of the cycle on $n$ vertices, and let $\Gnm$ be its complement, where $m\ge1$ and $n\ge3m+1$. We prove that every induced subcomplex of the clique complex of $C_n^m$ is homotopy equivalent either to a disjoint union of contractible complexes or to a circle, and we establish this dichotomy for a larger class of circular interval graphs. As a consequence, we obtain a closed formula for the linear strand of the Betti table of $R/I(\Gnm)$. We also prove that $R/I(\Gnm)$ is a Buchsbaum ring of depth $2$ and that the independence complex of $\Gnm$ is a triangulated $m$-manifold with boundary for $m\ge2$, namely a Möbius band or an annulus when $m=2$. For the complement $\overline H$ of every graph $H$ in the above class, we show that $\reg(I(\overline H)^k)=2k+\indm(\overline H)-1$ for all $k\ge2$, where $\indm$ denotes the induced matching number. In particular, some power of $I(\Gnm)$ has a linear resolution if and only if $n\ge4m+1$. In this range, we further prove that the colon ideals $(I^{k+1}:M)$, where $I=I(\Gnm)$ and $M$ is a minimal monomial generator of $I^k$, have regularity $2$.
