实用确定性线性时间模子集和
Deterministic Linear-Time Modular Subset Sum
- Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
- Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
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中文总结 AI 辅助
该论文提出一种确定性线性时间算法，用于精确模子集和问题，在 O(m) 时间内计算所有可达余数及见证，通过区间表示和素因子递增处理实现高效实践。
中文摘要 AI 辅助
我们给出一个用于精确模子集和的确定性算法，该算法对于每个模数 m，在 O(m) 时间和 O(m) 辅助字内计算所有可达余数及一个请求的见证。输入是带有重数的不同余数的紧凑列表，且字 RAM 支持常数时间的模算术。该算法将可达余数表示为沿重复加法循环的区间，并将部分循环的工作量计入新到达的余数。按递增顺序处理素因子可保持重建和更改循环的成本为线性。关于不同可逆余数的子集和的经典定理将边界列表的数量限制为 O(m^(3/4))；它们总共包含 O(m) 个区间端点。对短列表进行比较排序，对长列表进行基数排序，则总时间为 O(m)。该算法在实践中速度快，使用数组和区间列表而非重型数据结构。
英文摘要
We give a deterministic $O(m)$-time algorithm for exact modular subset sum over every modulus $m$ on compact input: distinct residues with multiplicities. It reports all reachable residues and answers one target query, returning a witness when the target is reachable. The algorithm uses $O(m)$ auxiliary words on an arithmetic word-RAM. This improves Potępa's deterministic $O(m\log mα(m))$-time bound under the same input convention. The running time matches the cost of explicitly reporting all $m$ reachability bits. We represent reachable residues as runs along cycles of repeated addition. Newly reached residues pay for scans of partial runs, and processing prime factors in increasing order makes cycle rebuilding linear. A theorem on subset sums of distinct units limits the number of adaptive boundary batches to $O(m^{3/4})$; radix sorting their $O(m)$ total keys also takes $O(m)$ time.
