平衡图划分中若干部分的并集的界
Bounds for Unions of Several Parts in Balanced Graph Partitions
- Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
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AI总结：
研究平衡图划分中任意$\ell$个部分并集诱导边数的上界，给出一般不等式，并在$\ell=2$时强化证实Bollobás-Scott猜想。
AI中文摘要：
设$k\ge3$且$1\le \ell\le k-1$。我们研究图的平衡$k$-划分，其中任意$\ell$个部分的并集诱导少量边。我们证明每个具有$n$个顶点和$m$条边的图$G$都允许一个平衡划分$V_1,\ldots,V_k$，使得\begin{equation*} \max_{\substack{A\in\binom{[k]}{\ell}}}e_G\left(\bigcup_{i\in A}V_i\right)\le\frac{\ell^2}{k^2}m+\frac{\ell^2(k-\ell)}{k^2}(n-1)+\frac{\ell(k-\ell)}{k(k-1)}\sqrt{\left(\binom{k}{\ell}-1\right)m}. \end{equation*} 在$\ell=2$的情形下，我们的结果以更强的形式证实了Bollobás和Scott的一个猜想。
英文摘要：
Let $k\ge3$ and $1\le \ell\le k-1$. We study balanced $k$-partitions of a graph for which the union of any $\ell$ parts induces few edges. We show that every graph $G$ with $n$ vertices and $m$ edges admits a balanced partition $V_1,\ldots,V_k$ such that \begin{equation*} \max_{\substack{A\in\binom{[k]}{\ell}}}e_G\left(\bigcup_{i\in A}V_i\right)\le\frac{\ell^2}{k^2}m+\frac{\ell^2(k-\ell)}{k^2}(n-1)+\frac{\ell(k-\ell)}{k(k-1)}\sqrt{\left(\binom{k}{\ell}-1\right)m}. \end{equation*} In the case $\ell=2$, our result confirms a conjecture of Bollobás and Scott in a stronger form.
