发表机构
University of Southern California（南加州大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明了 Kahn-Saks 猜想：当偏序集宽度足够大时，平衡系数可任意接近 1/2，并给出更强的结构定理，指出大宽度迫使出现近似均匀或几乎固定的序构型。
AI 中文摘要
设 $\mathbb{P}(x\prec y)$ 为在 $n$ 元偏序集 $P$ 的均匀随机线性扩展中 $x$ 先于 $y$ 的概率，并定义平衡系数为 $\delta(x,y)=\min(\mathbb{P}(x\prec y),\mathbb{P}(y\prec x))$，其中 $\delta(P)=\max_{x,y}\delta(x,y)$。我们证明（定理 1）足够大的宽度迫使 $\delta(P)$ 任意接近 $1/2$，从而回答了 Kahn 和 Saks 的一个长期猜想。事实上，我们证明了更强的结果（定理 2）：大宽度迫使我们的偏序集中出现两种构型之一：要么在 $k$ 个顶点上近似均匀的序，要么在 $t$ 个顶点上几乎固定的序，并有一个额外的顶点均匀插入到 $t+1$ 个槽位中。我们还证明，对于固定的 $k$，第一种可能性必定出现在大小为 $\Omega(n^{2/3})$ 的任何反链 $X$ 内。
英文摘要
Let $\mathbb{P}(x\prec y)$ be the probability that $x$ precedes $y$ in a uniformly random linear extension of an $n$-element poset $P$, and define the balancing coefficient to be $δ(x,y)=\min(\mathbb{P}(x\prec y),\mathbb{P}(y\prec x))$ with $δ(P)=\max_{x,y}δ(x,y)$. We prove (Theorem 1) that sufficiently large width forces $δ(P)$ to be arbitrarily close to $1/2$, answering a long-standing conjecture of Kahn and Saks. In fact, we prove the stronger result (Theorem 2) that large width forces one of two configurations in our poset: either a nearly uniform order on $k$ vertices, or an almost fixed order on $t$ vertices with one further vertex inserted uniformly among the $t+1$ slots. We also show that, for fixed $k$, the first possibility must occur within any antichain $X$ of size $Ω(n^{2/3})$.
Comments25 pages
