更快的线性规划：使用 $\sqrt{\mathrm{rank}}$ 次线性系统求解
Faster Linear Programming with $\sqrt{\mathrm{rank}}$ Linear System Solves
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中文总结 AI 辅助
本文提出一种线性规划求解算法，将Lee和Sidford的复杂度从O(√n log^13 m)改进为O(√n log^4 m)次线性系统求解，并猜想可进一步降至O(√n log(mU/ε))。
中文摘要 AI 辅助
Lee 和 Sidford [LS19] 表明，线性规划 $\min\{c^\top x\\: A^\top x=b,\\ l\leq x\leq u\}$（其中 $x\in\mathbb{R}^m$，$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$）可以在精度 $\epsilon$ 下，通过 $O(\sqrt n\log^{13}m\cdot\log(mU/\epsilon))$ 次对正对角矩阵 $\mathbf D$ 的线性系统 $A^\top\mathbf D A$ 的求解来解决，其中 $U$ 界定了输入和初始点的大小。这是第一个由 $\mathrm{rank}(A)=n$ 而非约束数量 $m$ 决定的此类界。Song [Son19] 提到降低 $\log^{13}m$ 因子是一个有趣的未来方向。给定一个内点和一个有限的认证大小界 $U$，我们给出一个算法，使用 $O(\sqrt n\log^{4}m\cdot\log(mU/\epsilon))$ 次此类线性系统的求解，将 Lee--Sidford 的界改进了一个 $\log^{9}m$ 因子。我们猜想 $O(\sqrt n\log(mU/\epsilon))$ 次此类线性系统求解就足够了。
英文摘要
Lee and Sidford [LS19] showed that the linear program $\min\{c^\top x\ :\ A^\top x=b,\ l\leq x\leq u\}$ over $x\in\mathbb{R}^m$, where $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$, can be solved to accuracy $ε$ using $O(\sqrt n\log^{13}m\cdot\log(mU/ε))$ solves of linear systems in $A^\top\mathbf DA$ for positive diagonal matrices $\mathbf D$, where $U$ bounds the magnitudes of the input and of the initial point. Theirs is the first such bound governed by $\mathrm{rank}(A)=n$ rather than by the number of constraints $m$. Song [Son19] mentioned that reducing the $\log^{13}m$ factor is an interesting future direction. Given an interior point and a finite certified magnitude bound $U$, we give an algorithm that uses $O(\sqrt n\log^{4}m\cdot\log(mU/ε))$ solves of such linear systems, improving the Lee--Sidford bound by a factor of $\log^{9}m$. We conjecture that $O(\sqrt n\log(mU/ε))$ such linear-system solves suffice.
