部分谐波约束下非线性薛定谔方程的反散射问题
An inverse scattering problem for the nonlinear Schrödinger equation under partial harmonic confinement
- Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
该论文研究部分谐波约束下非线性薛定谔方程的反散射问题，通过构造波算子并利用其第一非线性项和集中乘积数据，证明了未知非线性幂次和空间依赖系数可由小数据唯一确定，并讨论了自由变量依赖需更强下界的原因。
AI中文摘要：
我们研究了一个非线性薛定谔方程的反问题，该方程在某些空间方向上具有谐波势，而在其余方向上自由传播。非线性项具有未知的幂次和一个实的、空间依赖的系数。对于加权能量空间中的小入射数据，我们构造了波算子，并证明当系数依赖于约束变量或自由变量时，该算子能够同时确定幂次和系数。证明使用了波算子的第一个非线性项和集中乘积数据。我们解释了为什么对自由变量的依赖需要更强的幂次下界。我们还讨论了出射波算子、小数据散射算子以及依赖于所有空间变量的系数。
英文摘要：
We study an inverse problem for a nonlinear Schrödinger equation with a harmonic potential in some spatial directions and free propagation in the remaining directions. The nonlinearity has an unknown power and a real, spatially dependent coefficient. For small incoming data in a weighted energy space, we construct the wave operator and show that it determines both the power and the coefficient when the latter depends either on the confined variables or on the free variables. The proof uses the first nonlinear term of the wave operator and concentrated product data. We explain why dependence on the free variables requires a stronger lower bound on the power. We also discuss the outgoing wave operator, the small-data scattering operator, and coefficients depending on all spatial variables.
