Pinch 关于 $a$-凸性的猜想
Pinch's conjecture on $a$-convexity
- Dalhousie University（达尔豪斯大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文证明了 Pinch 关于 $a$-凸性的猜想：若 $a$ 为全实代数整数且 $D(a)$ 无极限点，则 $a$ 的其他代数共轭均位于 $(0,1)$ 内。
AI中文摘要：
对于 $a \in \mathbb{R}$，称包含于 $\mathbb{R}^{n}$ 的子集 $V$ 为 $a$-凸的，如果 $x, y \in V \Longrightarrow a x + (1-a) y \in V$。根据 Pinch [Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1985]，$V$ 的 $a$-凸包是包含 $V$ 的所有 $\mathbb{R}^{n}$ 的 $a$-凸子集的交集，并且 Pinch 还将 $D(a)$ 定义为 $\{ 0, 1 \}$ 在 $\mathbb{R}^{1}$ 中的 $a$-凸包。Pinch 猜想：如果 $a$ 是一个全实代数整数且 $D(a)$ 没有极限点，那么 $a$ 的除 $a$ 之外的每个代数共轭都在 $(0, 1)$ 中。我们成功证明了这一猜想，该猜想似乎一直悬而未决。
英文摘要：
For $a$ in $\mathbb{R}$, a subset $V$ contained in $\mathbb{R}^{n}$ is said to be $a$-convex if $x, y \in V \Longrightarrow a x + (1-a) y \in V$. According to Pinch [Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1985], the $a$-convex hull of $V$ is the intersection of all of the $a$-convex subsets of $\mathbb{R}^{n}$ that contain $V$, and Pinch also defines $D(a)$ as the $a$-convex hull of $\{ 0, 1 \}$ in $\mathbb{R}^{1}$. Pinch conjectured that if $a$ is a totally real algebraic integer and $D(a)$ has no limit points, then every algebraic conjugate of $a$ other than $a$ is in $(0, 1)$. We succeed in proving this conjecture, which seems to have remained open.
